【題目】如圖1,將△ABC紙片沿中位線EH折疊,使點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)D落在BC邊上,再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF,HG折疊,折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形,類似地,對(duì)多邊形進(jìn)行折疊,若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形,這樣的矩形稱為疊合矩形.

(1)將ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEFG,則操作形成的折痕分別是線段_______,_________;S矩形AEFG:S□ABCD=__________

(2)ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的長(zhǎng);

(3)如圖4,四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把該紙片折疊,得到疊合正方形,請(qǐng)你幫助畫出一種疊合正方形的示意圖,并求出AD、BC的長(zhǎng).

【答案】 AE GF 1:2

【解析】分析:(1)由圖可直接得到第一、二空答案,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AEH△ABE面積相等、梯形HFGA與梯形FCDG面積相等,據(jù)此不難得到第三空答案;

(2)對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注,如圖所示:首先根據(jù)勾股定理求得FH的長(zhǎng),再根據(jù)折疊的性質(zhì)以及請(qǐng)到的知識(shí)可得AH=FN,HD=HN,然后根據(jù)線段和差關(guān)系即可得到AD的長(zhǎng);

(3)根據(jù)題目信息,動(dòng)手這一下,然后將結(jié)合畫出來(lái),再結(jié)合折疊的性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)分析解答即可.

詳解:(1)根據(jù)題意得:操作形成的折痕分別是線段AE、GF;

由折疊的性質(zhì)得:△ABE≌△AHE,四邊形AHFG≌四邊形DCFG,

∴△ABE的面積=△AHE的面積,四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積,

∴S矩形AEFG=S平行四邊形ABCD,

∴S矩形AEFG:S平行四邊形ABCD=1:2;

故答案為:AE,GF,1:2;

(2)∵四邊形EFGH是矩形,

∴∠HEF=90°,

∴FH==13,

由折疊的性質(zhì)得:AD=FH=13;

由折疊的對(duì)稱性可知:DH=NH,AH=HM,CF=FN.

易得AEHCGF,

所以CF=AH,

所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

(3)有3種折法,如圖4、圖5、圖6所示:

①折法1中,如圖4所示:

由折疊的性質(zhì)得:AD=BG,AE=BE=AB=4,CF=DF=CD=5,GM=CM,∠FMC=90°,

∵四邊形EFMB是疊合正方形,

∴BM=FM=4,

∴GM=CM==3,

∴AD=BG=BM-GM=1,BC=BM+CM=7;

②折法2中,如圖5所示:


由折疊的性質(zhì)得:四邊形EMHG的面積=梯形ABCD的面積,AE=BE=AB=4,DG=NG,NH=CH,BM=FM,MN=MC,

∴GH=CD=5,

∵四邊形EMHG是疊合正方形,

∴EM=GH=5,正方形EMHG的面積=52=25,

∵∠B=90°,

∴FM=BM==3,

設(shè)AD=x,則MN=FM+FN=3+x,

∵梯形ABCD的面積=(AD+BC)×8=2×25,

∴AD+BC=,

∴BC=-x,

∴MC=BC-BM=-x-3,

∵M(jìn)N=MC,

∴3+x=-x-3,

解得:x=,

∴AD=,BC=-=;

③折法3中,如圖6所示,作GM⊥BC于M,


則E、G分別為AB、CD的中點(diǎn),

則AH=AE=BE=BF=4,CG=CD=5,正方形的邊長(zhǎng)EF=GF=4,

GM=FM=4,CM==3,

∴BC=BF+FM+CM=11,F(xiàn)N=CF=7,DH=NH=8-7=1,

∴AD=5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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