Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為A（1，﹣1）的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，3），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)O到直線AB的距離；
（3）點(diǎn)M在第二象限內(nèi)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，且∠MND=∠OAB，當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣1，

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

（5﹣1）2a﹣1=3，

解得a=．

故拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣1

（2）

由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，

OA2+AB2=OB2，

∴∠OAB=90°，

O到直線AB的距離是OA=

（3）

設(shè)M（a，b），N（a，0）

當(dāng)y=0時(shí)，（x﹣1）2﹣1=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①當(dāng)△MND∽△OAB時(shí)，=，即=，

化簡(jiǎn)，得4b=a﹣3 ①

M在拋物線上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②

聯(lián)立①②，得，

解得a1=3（不符合題意，舍），a2=﹣2，b=，

M1（﹣2，），

當(dāng)△MND∽△BAO時(shí)，=，即=，

化簡(jiǎn)，得b=12﹣4a ③，

聯(lián)立②③，得，

解得a1=3（不符合題意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M2（﹣17，80）．

綜上所述：當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)（﹣2，），（﹣17，80）

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠OAB等于90°，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，可得答案；
（3）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得方程②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得方程①③，根據(jù)解方程組，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)