【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c,經(jīng)過A(0,﹣4),B(x1 , 0),C(x2 , 0)三點(diǎn),且|x2﹣x1|=5.

(1)求b,c的值;
(2)在拋物線上求一點(diǎn)D,使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形;
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并判斷這個(gè)菱形是否為正方形?若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

【解答】解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c,經(jīng)過點(diǎn)A(0,﹣4),

∴c=﹣4

又∵由題意可知,x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的兩個(gè)根,

∴x1+x2=b,x1x2=6

由已知得(x2﹣x12=25

又∵(x2﹣x12=(x2+x12﹣4x1x2=b2﹣24

b2﹣24=25

解得b=±,當(dāng)b=時(shí),拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上,不合題意,舍去.

∴b=﹣


(2)

∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上,

又∵y=﹣x2x﹣4=﹣(x+2+,

∴拋物線的頂點(diǎn)(﹣,)即為所求的點(diǎn)D.


(3)

∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣6,0),根據(jù)菱形的性質(zhì),點(diǎn)P必是直線x=﹣3與

拋物線y=﹣x2x﹣4的交點(diǎn),

∴當(dāng)x=﹣3時(shí),y=﹣×(﹣3)2×(﹣3)﹣4=4,

∴在拋物線上存在一點(diǎn)P(﹣3,4),使得四邊形BPOH為菱形.

四邊形BPOH不能成為正方形,因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為正方形,點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是(﹣3,3),但這一點(diǎn)不在拋物線上.


【解析】(1)把A(0,﹣4)代入可求c,運(yùn)用兩根關(guān)系及|x2﹣x1|=5,對(duì)式子合理變形,求b;
(2)因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分,故菱形的另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上,滿足條件的D點(diǎn),就是拋物線的頂點(diǎn);
(3)由四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形,可得PH垂直平分OB,求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式即可,再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段OB的長度關(guān)系,判斷是否為正方形即可.

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【題目】如圖1,水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器,三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上,AB=BC=6cm,OD=3cm,開始的時(shí)候BD=1cm,現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng).

(1)當(dāng)B與O重合的時(shí)候,求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;
(2)如圖2,當(dāng)AC與半圓相切時(shí),求AD;
(3)如圖3,當(dāng)AB和DE重合時(shí),求證:CF2=CGCE.

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【題目】定義運(yùn)算max{a,b}:當(dāng)a≥b時(shí),max{a,b}=a;當(dāng)a<b時(shí),max{a,b}=b.如max{﹣3,2}=2.

(1)max{,3}=
(2)已知y1=和y2=k2x+b在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,若max{,k2x+b}=,結(jié)合圖象,直接寫出x的取值范圍;
(3)用分類討論的方法,求max{2x+1,x﹣2}的值.

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【題目】某班同學(xué)響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動(dòng)”號(hào)召,利用課外活動(dòng)積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從長跑、鉛球、立定跳遠(yuǎn)、籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃中任選一項(xiàng)進(jìn)行了訓(xùn)練,訓(xùn)練前后都進(jìn)行了測(cè)試,現(xiàn)將項(xiàng)目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃進(jìn)球數(shù)進(jìn)行整理,作出如下統(tǒng)計(jì)圖表.
訓(xùn)練后籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試進(jìn)球統(tǒng)計(jì)表

進(jìn)球數(shù)(個(gè))

8

7

6

5

4

3

人數(shù)

2

1

4

7

8

2

請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息回答下列問題:

(1)訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃人均進(jìn)球數(shù)為 個(gè);
(2)選擇長跑訓(xùn)練的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是 ,該班共有同學(xué) 人;
(3)根據(jù)測(cè)試資料,參加籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃的學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前的人均進(jìn)球增加了25%,求參加訓(xùn)練之前的人均進(jìn)球數(shù).

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(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P在x軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)在圖中畫出四邊形AB′C′D′;
(2)填空:△AC′D′是 三角形.

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請(qǐng)根據(jù)上面的信息,解決問題:
(1)設(shè)AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長
(2)請(qǐng)你判斷誰的說法正確,為什么?

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(1)求拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)O到直線AB的距離;
(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)的拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,且∠MND=∠OAB,當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí),請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(1)求證:BE=CE;
(2)若BD=2,BE=3,求AC的長.

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