【題目】已知,如圖1,O是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),AB⊥y軸于點(diǎn)A,AB=2,AO=4,OC=5,點(diǎn)D是線段AO上一動(dòng)點(diǎn),連接CD、BD.

(1)求出拋物線的解析式;

(2)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸分別交BD、CD于點(diǎn)E、F,當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí),求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)當(dāng)∠BDC的度數(shù)最大時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出OD的長(zhǎng).

【答案】(1)y=﹣x2x+4;(2)當(dāng)DEF為等腰三角形時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,)或(0,)或(0,12﹣2);(3)

【解析】

(1)先確定出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),進(jìn)而用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出要△DEF是等腰三角形,即:△BDH是等腰三角形,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),進(jìn)而表示出BD,DH,BH,分三種情況建立方程求解即可得出結(jié)論;

(3)先判斷出∠BDC最大時(shí),BD⊥BC,進(jìn)而利用相似三角形建立方程求解即可得出結(jié)論.

(1)ABy軸于點(diǎn)A,AB=2,AO=4,OC=5,

A(0,4),B(2,4),C(5,0),

∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),

,

,

∴拋物線解析式為y=-x2-x+4;

(2)如圖,

過(guò)點(diǎn)BBGOCG,交CDH,

∴點(diǎn)H,G的橫坐標(biāo)為2,

EFOC,

EFBH,

∵△DEF是等腰三角形,

∴△BDH是等腰三角形,

設(shè)D(0,5m)(0≤m≤),

C(5,0),

∴直線CD的解析式為y=﹣mx+5m,

H(2,3m),

BH=4﹣3m,

BH2=9m2﹣24m+16,DH2=4+(5m﹣3m)2=4+4m2,BD2=4+(5m﹣4)2=25m2﹣40m+20,

當(dāng)BD=DH時(shí),25m2﹣40m+20=4+4m2,

m=(舍)或m=,

5m=,

D(0,),

當(dāng)BD=BH時(shí),25m2﹣40m+20=9m2﹣24m+16,

m=,

D(0,),

當(dāng)BH=DH時(shí),9m2﹣24m+16=4+4m2,

m=m=(舍去),

D(0,12﹣2),

即:當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,)或(0,)或(0,12﹣2);

(3)如圖1,

過(guò)點(diǎn)BBGOCG,交CDH,

∴四邊形OABG是矩形,點(diǎn)H,G的橫坐標(biāo)為2,

∴∠OAB=ABG=90°,

OG=2,

OC=5,

CG=3,

B(2,4),

BG=4,

過(guò)點(diǎn)BBQCD,

∴∠BQD=90°,

∴要∠BDC最大,

∴∠DBQ最小,

即:BDBC時(shí),∠DBQ最小,

∴∠DBC=90°=ABG,

∴∠ABD=CBG,

∵∠BGC=BAD=90°,

∴△ABD∽△GBC,

,

,

AD=

OD﹣OA﹣AD=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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請(qǐng)按照上面的要求繼續(xù)操作并探究:

P3 P2 P4=_____°;按照上面的要求一直畫(huà)下去,得到點(diǎn)Pn,若之后就不能再畫(huà)出符合要求點(diǎn)Pn+1了,則n=_____

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1)若∠BDA115°,則∠BAD  °,∠DEC  °;

2)若DCAB,求證:ABD≌△DCE;

3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDA的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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2)若準(zhǔn)備用3800元購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共100棵,則至少要購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗多少棵?

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