【題目】【特例發(fā)現(xiàn)】如圖1,在ABC中,AGBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB,AC為直角邊,向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q.求證:EP=FQ.

【延伸拓展】如圖2,在ABC中,AGBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB,AC為直角邊,向ABC外作RtABE和RtACF,射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE,AC=kAF,請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出你的結(jié)論.

【深入探究】如圖3,在ABC中,G是BC邊上任意一點(diǎn),以A為頂點(diǎn),向ABC外作任意ABE和ACF,射線GA交EF于點(diǎn)H.若EAB=AGB,FAC=AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎?并證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用推廣】在上一問的條件下,設(shè)大小恒定的角IHJ分別與AEF的兩邊AE、AF分別交于點(diǎn)M、N,若ABC為腰長等于4的等腰三角形,其中BAC=120°,且IHJ=AGB=θ=60°,k=2;

求證:當(dāng)IHJ在旋轉(zhuǎn)過程中,EMH、HMN和FNH均相似,并直接寫出線段MN的最小值(請?jiān)诖痤}卡的備用圖中補(bǔ)全作圖).

【答案】(1)證明參見解析;(2)HE=HF;(3)成立,證明參見解析;(4)證明參見解析,MN最小值為1.

【解析】

試題分析:(1)特例發(fā)現(xiàn):易證AEP≌△BAG,AFQ≌△CAG,即可求得EP=AG,F(xiàn)Q=AG,即可解題;(2)延伸拓展:過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q.易證ABG∽△EAP,ACG∽△FAQ,得到PE=AG,F(xiàn)Q=AG,PE=FQ,然后證明EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(3)深入探究:判斷PEA∽△GAB,得到PE=AG,AQF∽△CGA,F(xiàn)Q=,得到FQ=AG,再判斷EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(4)應(yīng)用推廣:由前一個結(jié)論得到AEF為正三角形,再依次判斷MHN∽△HFN∽△MEH,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)特例發(fā)現(xiàn),如圖:

∵∠PEA+PAE=90°,GAB+PAE=90°,∴∠PEA=GAB,∵∠EPA=AGB,AE=AB,∴△PEA≌△GAB,PE=AG,同理,QFA≌△GAC,FQ=AG,PE=FQ;

(2)延伸拓展,如圖:

∵∠PEA+PAE=90°GAB+PAE=90°,∴∠PEA=GAB,∴∠EPA=AGB,∴△PEA∽△GAB,AB=kAE,PE=AG,同理,QFA∽△GAC,AC=kAF,FQ=AG,PE=FQ,EPFQ,∴∠EPH=FQH,∵∠PHE=QHF,∴△EPH≌△FQH,HE=HF;

(3)深入探究,如圖2,

在直線AG上取一點(diǎn)P,使得EPA═∠AGB,作FQPE,∵∠EAP+BAG=180°﹣∠AGB,ABG+BAG=180°﹣∠AGB,∴∠EAP=ABG,∵∠EPA=AGB,∴△APE∽△BGA,,AB=kAE,PE=AG,由FQA=FAC=AGC=180°﹣∠AGB,同理可得,AQF∽△CGA,,AC=kAF,FQ=AG,EP=FQ,EPFQ,∴∠EPH=FQH,∵∠PHE=QHF,∴△EPH≌△FQH,HE=HF;

(4)應(yīng)用推廣,如圖3,

在前面條件及結(jié)論,得到,點(diǎn)H是EF中點(diǎn),AE=AF,∵∠EAB=AGB,FAC=AGC∴∠EAB+FAC=180°∴∠EAF=360°﹣EAB+FAC)﹣∠BAC=60°∴△AEF為正三角形.又H為EF中點(diǎn),∴∠EHM+IHJ=120°,IHJ+FHN=120°,∴∠EHM=FHN.∵∠AEF=AFE,∴△HEM∽△HFN,EH=FH,,且MHN=HFN=60°,∴△MHN∽△HFN,∴△MHN∽△HFN∽△MEH,在HMN中,MHN=60°,根據(jù)三角形中大邊對大角,要MN最小,只有HMN是等邊三角形,∴∠AMN=60°,∵∠AEF=60°,MNMNEF,∵△AEF為等邊三角形,MN為AEF的中位線,MNmin=EF=×2=1.

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