Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED=45°．

（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與⊙O相切．

理由：連接OD，

∵∠AED=45°，

∴∠AOD=2∠AED=90°，

即OD⊥AB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴OD⊥CD，

∵AB為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，

∴CD與⊙O相切；

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE，連接OE，

則AF= AE= ×10=5（cm），

∵OA=OE，

∴∠AOF= ∠AOE，

∵∠ADE= ∠AOE，

∴∠ADE=∠AOF，

在Rt△AOF中，sin∠AOF= = ，

∴sin∠ADE= ．

【解析】（1）首先連接OD，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可證得OD⊥AB，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可證得OD⊥CD，即可證得CD與⊙O相切；（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE，連接OE，由垂徑定理可得AF=5cm，∠AOF= ∠AOE，又由圓周角定理可得∠ADE= ∠AOE，繼而證得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．