【題目】如圖,PA 為⊙O 的切線,A 為切點(diǎn),過(guò) A 作弦 AB⊥OP,垂足為點(diǎn) C,延長(zhǎng)BO 與 PA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D
(1) 求證:PB 為⊙O 的切線
(2) 若 OB=3,OD=5,求 PB 的長(zhǎng)
【答案】(1) 見(jiàn)詳解;(2) PB=6.
【解析】
(1) 連接OA,根據(jù)垂徑定理,得到PB=PA,可證明△PAO≌△PBO,因?yàn)?/span>PA 為⊙O 的切線,所以∠PBO=∠PAO=90°,題目得證;
(2)用勾股定理算出AD,由(1)中△PAO≌△PBO,得到PA=PB,設(shè)PB=x,△BDP為直角三角形,利用勾股定理列出等式,求解得出x,即為PB的長(zhǎng).
(1)證明:連接OA,
∵PA為⊙O的切線,
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴PB=PA,
∴△PAO≌△PBO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB為⊙O的切線;
(2)在直角三角形OAD中,
,
BD=OB+OD=8,
∵△PAO≌△PBO,
∴PA=PB,
設(shè)PB=x,
∵PB 為⊙O 的切線,
∴∠DBP=90°,△BDP為直角三角形,
∴BD+BP=DP2,即8+x=(4+x),
解得x=6,
∴PB=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC為⊙O的直徑,點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心,連接AE并延長(zhǎng)交⊙O于D點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至F,使得BD=DF,連接CF、BE.
(1)求證:DB=DE;
(2)求證:直線CF為⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長(zhǎng)為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,∠α≤39°時(shí),才能避免滑坡危險(xiǎn),學(xué)校為了消除安全隱患,決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造,在保持坡腳C不動(dòng)的情況下,學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全?(結(jié)果取整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O 中,AB、CD是互相垂直的兩條直徑,點(diǎn)E在上,CF⊥AE 于點(diǎn)F,若點(diǎn)F四等分弦AE,且AE=8,則⊙O 的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,拋物線 y=x2+bx+c 與 y 軸交于點(diǎn) C,與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn)B(其中點(diǎn) A 在 y 軸左側(cè),點(diǎn) B 在 y 軸右側(cè)),對(duì)稱軸直線 x=交 x 軸于點(diǎn) H.
(1)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣4,6),求拋物線的解析式;
(2)如圖1,∠ACB=90°,點(diǎn)P是拋物線y=x2+bx+c上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且 S△ABP=S△ABC,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣c, 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C , 連結(jié)AB′.若A、B′、A′在同一條直線上,則AA′的長(zhǎng)為( )
A. 6 B. C. D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,把一個(gè)直角三角尺ACB繞著30°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A與CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E重合.
(1)三角尺旋轉(zhuǎn)了 度。
(2)連接CD,試判斷△CBD的形狀;
(3)求∠BDC的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度數(shù).
要直接求∠A的度數(shù)顯然很因難,注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù),因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi),如圖2,作∠PAD=60°使AD=AP,連接PD,CD,則△PAD是等邊三角形.
∴ =AD=AP=3,∠ADP=∠PAD=60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB,∠BAC=60°
∴∠BAP=
∴△ABP≌△ACD
∴BP=CD=4, =∠ADC
∵在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
∴∠PDC= °
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°
(2)如圖3,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的邊BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,若∠ABC=90°,求證:OE∥AC;
(2)如圖2,已知AB=AC,若sin∠ADE=, 求tanA的值.
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