【題目】已知,拋物線 yx2+bx+c y 軸交于點(diǎn) C, x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn)B其中點(diǎn) A y 軸左側(cè),點(diǎn) B y 軸右側(cè)),對(duì)稱軸直線 x x 軸于點(diǎn) H

(1)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(﹣4,6),求拋物線的解析式;

(2)如圖1,∠ACB=90°,點(diǎn)P是拋物線y=x2+bx+c上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且 SABP=SABC,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);

(3)如圖 2,過點(diǎn)AAQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣c, 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2-x-8;(2)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2);(3)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出函數(shù)的解析式;

(2)連接 CH,利用交點(diǎn)式和韋達(dá)定理求出CH2AB2

, Rt△OHC 中,由勾股定理求出c的值,再分情況討論即可.

(3)分別利用直線 BC和直線AC聯(lián)系二次函數(shù)解析式消去y得到兩個(gè)含k,c的方程,即可解出k,c的值,得出Q點(diǎn)坐標(biāo).

(1)∵拋物線 yx2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線 x,

∴﹣=﹣b,

b=﹣

又拋物線 y x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn)(﹣4,6),

∴6=×(﹣4)2﹣ ×(﹣4)+c, 解得 c=﹣8.

故該拋物線解析式是 y x2 x﹣8;

如圖 1,連接 CH,

對(duì)稱軸直線 x x 軸于點(diǎn) H,

AHBHOH∵∠ACB=90°,

CHAB,

設(shè) AB 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),

x1,x2 是方程x2 x+c=0 的兩根,

x1+x2=3,x1x2=2c,

AB2=(x2﹣x1)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=9﹣8c,

CH2= AB2 ﹣2c

Rt△OHC 中,由勾股定理得:CH2OH2+OC2,即:c2+2c=0, 解得:c=﹣2 c=0(舍去).

SABPSABC

∴|yP|=|yC|=2.

當(dāng) yP=﹣2 時(shí),點(diǎn) P 與點(diǎn) C 關(guān)于直線 x對(duì)稱,

P(3,﹣2).

當(dāng) yP=2 時(shí),x2 x﹣2=2, 解得:x

點(diǎn) P y 軸的右側(cè),

x,

點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ,2).綜上所述,符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2).

如圖 2,設(shè)直線 BC 的解析式為ykx+ck≠0),聯(lián)立直線 BC 與拋物線的解析式,得

消去 y,得x2 x+ckx+c解得:xC=0,xB=3+2k

(2) xA+xB=3,

xA=3﹣xB

xA=﹣2k

把點(diǎn) B 的坐標(biāo)(3+2k,0)代入 ykx+c,得 c=﹣k(3+2k)=﹣3k﹣2k2.

AQBC,

則設(shè) AQ 的解析式為:ykx+mk≠0).聯(lián)立直線 AQ 與拋物線的解析式,得

消去 y,得x2x+ckx+m

設(shè)點(diǎn) A、Q 的橫坐標(biāo)分別為 xA、xQ xA+xQ=3+2k,

xA=﹣2k

xQ=3+4k

yQ=﹣ c,c=﹣3k﹣2k2

則有:﹣(﹣3k﹣2k2)=(3+4k2(3+4k)+(﹣3k﹣2k2),解得:k1=0(舍去),k2=1,

c=﹣3k﹣2k2=﹣5,

點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元?

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