【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)請直接寫出點A,C,D的坐標(biāo);
(2)如圖(1),在x軸上找一點E,使得△CDE的周長最小,求點E的坐標(biāo);
(3)如圖(2),F為直線AC上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(﹣3,0),C(0,3),D(﹣1,4);(2)E(,0);(3)P(2,﹣5)或(1,0).
【解析】
試題(1)令拋物線解析式中y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標(biāo),再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標(biāo),利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標(biāo);
(2)作點C關(guān)于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,由點C的坐標(biāo)可找出點C′的坐標(biāo),根據(jù)點C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出點E的坐標(biāo);
(3)根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、F點的坐標(biāo)找出點P的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入點P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)中y=0時,有,解得:=﹣3,=1,∵A在B的左側(cè),∴A(﹣3,0),B(1,0).
當(dāng)中x=0時,則y=3,∴C(0,3).
∵=,∴頂點D(﹣1,4).
(2)作點C關(guān)于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,如圖1所示.
∵C(0,3),∴C′(0,﹣3).
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b,則有:,解得:,∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3,當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時,x=,∴當(dāng)△CDE的周長最小,點E的坐標(biāo)為(,0).
(3)設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,則有:,解得:,∴直線AC的解析式為y=x+3.
假設(shè)存在,設(shè)點F(m,m+3),△AFP為等腰直角三角形分三種情況(如圖2所示):
①當(dāng)∠PAF=90°時,P(m,﹣m﹣3),∵點P在拋物線上,∴,解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,此時點P的坐標(biāo)為(2,﹣5);
②當(dāng)∠AFP=90°時,P(2m+3,0)
∵點P在拋物線上,∴,解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,此時點P的坐標(biāo)為(1,0);
③當(dāng)∠APF=90°時,P(m,0),∵點P在拋物線上,∴,解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,此時點P的坐標(biāo)為(1,0).
綜上可知:在拋物線上存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形,點P的坐標(biāo)為(2,﹣5)或(1,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,每個小方格的邊長為一個單位長度.
(1)點的坐標(biāo)為 .點的坐標(biāo)為 .
(2)點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為 ;
(3)以、、為頂點的三角形的面積為 ;
(4)點在軸上,且的面積等于的面積,點的坐標(biāo)為 .
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【題目】(本題滿分8分)
如圖,點E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF與DE交于點O.
(1)求證:AB=DC;
(2)試判斷△OEF的形狀,并說明理由.
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【題目】下列條件中,不能判斷△ABC是直角三角形的是( 。
A. a:b:c=3:4:5 B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. ∠A+∠B=∠C D. a:b:c=1:2:
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【題目】如圖,已知直線AB∥CD,F(xiàn)H平分∠EFD,F(xiàn)G⊥FH,∠AEF=62°,則∠GFC=_____度.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為12,點O為對角線AC、BD的交點,點E在CD上,tan∠CBE= ,過點C作CF⊥BE,垂足為F,連接OF,將△OCF繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODG,連接FG、FD,則△DFG的面積是________.
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【題目】如圖,已知點,分別是的邊和延長線上的點,作的平分線,若.
(1)求證:是等腰三角形;
(2)作的平分線交于點,若,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,DE交AC于點E,且∠A=∠ADE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.
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