Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ=4，PE=1．
（1）求∠BPQ的度數(shù)；
（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．

∵在△ABE和△CAD中 ，

∴△ABE≌△CAD．

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ是△ABP的一個(gè)外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

（2）解：∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°．

又由（1）知，∠BPQ=60°，

∴∠PBQ=30°．

∴BP=2PQ=2×4=8．

∴BE=BP+PE=8+1=9．

又∵由（1）知△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=9．

【解析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知AB=AC，∠BAC=∠C=60°．依據(jù)SAS可證明△ABE≌△CAD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABE=∠CAD，最后結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）先求得∠PBQ=30°，然后依據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可求得BP=8，故此可求得BE=9，最后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到AD=BE=9
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．