Question

【題目】如（圖1），已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx與x軸交于另一點(diǎn)A(，0)，在第一象限內(nèi)與直線y＝x交于點(diǎn)B(2，t)

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線OB下方的拋物線上有一點(diǎn)C，點(diǎn)C到直線OB的距離為，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如（圖2），若點(diǎn)M在拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x2﹣3x；（2）C(1，﹣1)；（3）存在，點(diǎn)P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，，，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（3）分點(diǎn)在第一象限、第三象限兩種情況，分別求解即可．

解：（1）點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：①；

（2）如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

，

，

又，

，

，

，

設(shè)點(diǎn)，則，

點(diǎn)在直線的下方，

，解得：，

；

（3）如圖（2）交軸于點(diǎn)，

，，，

在△BON和△AOB中，

，

，

，

將點(diǎn)、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線的表達(dá)式為：②，

聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)M（，），

∵△POC∽△MOB，，，

，

即：，，

①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，

，

，

，

又，，

，，

即點(diǎn)P（，）

②同理當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，

點(diǎn)P（，）；

綜上，點(diǎn)P（，）或（，）.