【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E是邊BC的中點,F是CD上一點,已知∠AEF=90°.
(1)求證:;
(2)平行四邊形ABCD中,E是邊BC上一點,F是邊CD上一點,∠AFE=∠ADC,∠AEF=90°.
①如圖2,若∠AFE=45°,求的值;
②如圖3,若AB=BC,EC=3CF,直接寫出cos∠AFE的值.
【答案】(1)見解析;(2)①;②cos∠AFE=
【解析】
(1)用特殊值法,設(shè),則,證,可求出CF,DF的長,即可求出結(jié)論;
(2)①如圖2,過F作交AD于點G,證和是等腰直角三角形,證,求出的值,即可寫出的值;②如圖3,作交AD于點T,作于H,證,設(shè)CF=2,則CE=6,可設(shè)AT=x,則TF=3x,,,分別用含x的代數(shù)式表示出∠AFE和∠D的余弦值,列出方程,求出x的值,即可求出結(jié)論.
(1)設(shè)BE=EC=2,則AB=BC=4,
∵,
∴,
∵,
∴∠FEC=∠EAB,
又∴,
∴,
∴,
即,
∴CF=1,
則,
∴;
(2)①如圖2,過F作交AD于點G,
∵,
∴和是等腰直角三角形,
∴,,
∴∠AGF=∠C,
又∵,
∴∠GAF=∠CFE,
∴,
∴,
又∵GF=DF,
∴;
②如圖3,作交AD于點T,作于H,
則,
∴,
∴∠ATF=∠C,
又∵,且∠D=∠AFE,
∴∠TAF=∠CFE,
∴,
∴,
設(shè)CF=2,則CE=6,可設(shè)AT=x,則TF=3x,,
∴,且,
由,得,
解得x=5,
∴.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知C(3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點A、B在x軸上,且OA=OB.點P為⊙C上的動點,∠APB=90°,則AB長度的最大值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是上海世博園內(nèi)的一個矩形花園,花園長為100米,寬為50米,在它的四角各建有一個同樣大小的正方形觀光休息亭,四周建有與觀光休息亭等寬的觀光大道,其余部分(圖中陰影部分)種植的是不同花草.已知種植花草部分的面積為3600米2,那么矩形花園各角處的正方形觀光休息亭的邊長為多少米?
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=2,P為線段AB上一動點,且不與點A重合,過點P作PE⊥AB交AD于點E,將∠A沿PE折疊,點A落在直線AB上點F處,連接DF、CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時,AP的長是_____.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E為BC的中點,將△ABE沿直線AE折疊時點B落在點F處,連接FC,若∠DAF=18°,則∠DCF=_____度.
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【題目】人們在長期的數(shù)學(xué)實踐中總結(jié)了許多解決數(shù)學(xué)問題的方法,形成了許多光輝的數(shù)學(xué)想法,其中轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)教學(xué)中最活躍,最實用,也是最重要的數(shù)學(xué)思想,例如將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形就是研究圖形問題比較常用的一種方法。
問題提出:求邊長分別為的三角形面積。
問題解決:在解答這個問題時,先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出邊長分別為的格點三角形△ABC(如圖①),AB=是直角邊為1和2的直角三角形斜邊,BC=是直角邊分別為1和3的直角三角形的斜邊,AC=是直角邊分別為2和3 的直角三角形斜邊,用一個大長方形的面積減去三個直角三角形的面積,這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積。
(1)請直接寫出圖①中△ABC的面積為_______________ 。
(2)類比遷移:求邊長分別為的三角形面積(請利用圖②的正方形網(wǎng)格畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積)。
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【題目】某校計劃一次性購買排球和籃球,每個籃球的價格比排球貴30元;購買2個排球和3個籃球共需340元.
(1)求每個排球和籃球的價格:
(2)若該校一次性購買排球和籃球共60個,總費用不超過3800元,且購買排球的個數(shù)少于39個.設(shè)排球的個數(shù)為m,總費用為y元.
①求y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求m可取的所有值;
②在學(xué)校按怎樣的方案購買時,費用最低?最低費用為多少?
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【題目】如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B,圖2是點F運動時,△FBC的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的關(guān)系圖象,則a的值為( 。
A. B. 2 C. D. 2
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=k1x+2與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A(4,m)和B(﹣8,﹣2),與y軸交于點C.
(1)k1= ,k2= ;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)y1>y2時,x的取值范圍是 ;
(3)過點A作AD⊥x軸于點D,點P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點.設(shè)直線OP與線段AD交于點E,當(dāng)S四邊形ODAC:S△ODE=3:1時,求直線OP的解析式.
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