Question

通常，我們把長(zhǎng)方形和正方形統(tǒng)稱為矩形．如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的矩形ABCD，若把此矩形沿圖中的虛線用剪刀均分為4塊小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D2的形狀拼成一個(gè)正方形MNPQ．
（1）分別從整體和局部的角度出發(fā)，計(jì)算圖2中陰影部分的面積，可以得到等式　_________　．
（2）仔細(xì)觀察長(zhǎng)方形ABCD與正方形MNPQ，可以發(fā)現(xiàn)它們的　_________　相同，　_________　不同．（選填“周長(zhǎng)”或“面積”）
（3）根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，猜想結(jié)論：用總長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，可以有許多不同的圍法．在你圍的所有矩形中，面積最大的矩形的面積是　_________　米²．

Answer 1

（1）（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；（2）周長(zhǎng)，面積；（3）81．

試題分析：（1）整體上求出內(nèi)部的小正方形的邊長(zhǎng)，然后用大正方形的面積減去小正方形的面積就是陰影部分的面積，從局部考慮，求出四個(gè)小矩形的面積就是陰影部分的面積；
（2）從圖2的面積比圖1的面積大里面小正方形的面積考慮；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，周長(zhǎng)相等的情況下，正方形的面積比矩形的面積大，所以圍成的正方形的面積最大，然后根據(jù)正方形進(jìn)行計(jì)算即可．
解：（1）整體考慮：里面小正方形的邊長(zhǎng)為a﹣b，
∴陰影部分的面積=（a+b）²﹣（a﹣b）²，
局部考慮：陰影部分的面積=4ab，
∴（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；
（2）圖1周長(zhǎng)為：2（2a+2b）=4a+4b，
面積為：4ab，
圖2周長(zhǎng)為：4（a+b）=4a+4b，
面積為（a+b）²=4ab+（a﹣b）²≥4ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；
∴周長(zhǎng)相同，面積不相同；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，圍成正方形時(shí)面積最大，
此時(shí)，邊長(zhǎng)為36÷4=9米，
面積=9²=81米²．
故答案為：（1）（a+b）²﹣（a﹣b）²=4ab；（2）周長(zhǎng)，面積；（3）81．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式的幾何背景，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，根據(jù)面積找出里面的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．