【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上,AD=DE=AB,連接DE.將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為θ.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)θ=0°時(shí),= ;
②當(dāng)θ=180°時(shí),= .
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤θ<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;
(3)問(wèn)題解決
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BE的最大值為 ;
②當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時(shí),線段CD的長(zhǎng)為 .
【答案】(1)①;(2)詳見解析;(3)①2+2 +1或﹣1.
【解析】分析:(1)①先判斷出DE∥CB,進(jìn)而得出比例式,代值即可得出結(jié)論;
②先得出DE∥BC,即可得出,,再用比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)先∠CAD=∠BAE,進(jìn)而判斷出△ADC∽△AEB即可得出結(jié)論;
(3)分點(diǎn)D在BE的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)D在BE上,先利用勾股定理求出BD,再借助(2)結(jié)論即可得出CD.
詳解:(1)①當(dāng)θ=0°時(shí),
在Rt△ABC中,AC=BC=2,
∴∠A=∠B=45°,AB=2,
∵AD=DE=AB=,
∴∠AED=∠A=45°,
∴∠ADE=90°,
∴DE∥CB,
∴,
∴,
∴,
故答案為:,
②當(dāng)θ=180°時(shí),如圖1,
∵DE∥BC,
∴,
∴,
即:,
∴,
故答案為:;
(2)當(dāng)0°≤θ<360°時(shí),的大小沒(méi)有變化,
理由:∵∠CAB=∠DAE,
∴∠CAD=∠BAE,
∵,
∴△ADC∽△AEB,
∴;
(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線時(shí),BE最大,
在Rt△ADE中,AE=AD=2,
∴BE最大=AB+AE=2+2;
②如圖2,
當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí),
∵∠ADE=90°,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中,AB=2,AD=,根據(jù)勾股定理得,BD==,
∴BE=BD+DE=+,
由(2)知,,
∴CD=+1,
如圖3,
當(dāng)點(diǎn)D在BE的延長(zhǎng)線上時(shí),
在Rt△ADB中,AD=,AB=2,根據(jù)勾股定理得,BD==,
∴BE=BD﹣DE=﹣,
由(2)知,,
∴CD=﹣1.
故答案為: +1或﹣1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用兩個(gè)全等的等邊△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合,使三角尺60°角的項(xiàng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB、AC重合,將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖),通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小華是一位善于思考的學(xué)生,在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,他將一副直角三角板如圖位置擺放,A,B,D在同一直線上,EF∥AD,∠CAB=∠EDF=90°,∠C=45°,∠E=60°,量得DE=2.則BD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,解決問(wèn)題:
我們把一個(gè)能被17整除的自然數(shù)稱為“節(jié)儉數(shù)”,“節(jié)儉數(shù)”的特征是:若把一個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去,再把剩下的數(shù)減去截去的那個(gè)個(gè)位數(shù)字的5倍,如果差是17的整數(shù)倍(包括0),則原數(shù)能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否是17的倍數(shù),就繼續(xù)上述的“截尾、倍大、相減、驗(yàn)差”的過(guò)程,直到能清楚判斷為止.
例如:判斷1675282是不是“節(jié)儉數(shù)”.判斷過(guò)程:167528﹣2×5=167518,16751﹣8×5=16711,1671﹣1×5=1666,166﹣6×5=136,到這里如果你仍然觀察不出來(lái),就繼續(xù)13﹣6×5=﹣17,﹣17是17的整數(shù)倍,所以1675282能被17整除.所以1675282是“節(jié)儉數(shù)”.
(1)請(qǐng)用上述方法判斷7259和2098752 是否是“節(jié)儉數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)一個(gè)五位節(jié)儉數(shù),其中個(gè)位上的數(shù)字為b,十位上的數(shù)字為a,請(qǐng)求出這個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的有( )
①在Rt△ABC中,已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊的長(zhǎng)為5;
②△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB,BC,AC,若+=,則∠A=90°;
③在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,則△ABC是直角三角形;
④若三角形的三邊長(zhǎng)之比為3:4:5,則該三角形是直角三角形.
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分線,BE是∠ABC的平分線.
(1)求證:∠A=2∠E,以下是小明的證明過(guò)程,請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里填寫理由.
證明:∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角,∠2是△BCE的一個(gè)外角,(已知)
∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E(_________)
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC,∠E=∠2﹣∠1(等式的性質(zhì))
∵CE是外角∠ACD的平分線,BE是∠ABC的平分線(已知)
∴∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1(_______)
∴∠A=2∠2﹣2∠1(_________)
=2(∠2﹣∠1)(_________)
=2∠E(等量代換)
(2)如果∠A=∠ABC,求證:CE∥AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BE=BA,過(guò)E作EF⊥AB,F為垂足.下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF;其中正確的是( 。
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P(-2·3).
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)A(2.-3)、B(3,2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上?
(3)這個(gè)函數(shù)的圖象位于哪些象限?函數(shù)值y隨自變量x的減小如何變化?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)B、C、D都在⊙O上,過(guò)點(diǎn)C作AC∥BD交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)A,連接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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