Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，頂點(diǎn)為．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的取值范圍；

（3）探索：線段上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)呀理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，， .

【解析】

（1）可根據(jù)OB、OC的長(zhǎng)得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來(lái)求解．先根據(jù)拋物線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出三角形AOC直角邊OA的長(zhǎng)，據(jù)此可根據(jù)上面得出的四邊形的面積計(jì)算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BM的解析式，據(jù)此可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長(zhǎng)，然后分三種情況進(jìn)行討論：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根據(jù)上述三種情況即可得出符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵，∴，．∴，

解得，∴二次函數(shù)的解析式為；

（2），

設(shè)直線的解析式為，則有解得

∴直線的解析式為

∵軸，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

；

（3）線段上存在點(diǎn)， 使為等腰三角形。設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則：

，，

①當(dāng)時(shí)，解得，（舍去）

此時(shí)

②當(dāng)時(shí)，，

解得，（舍去），此時(shí)

③當(dāng)時(shí)，

解得，此時(shí)．