Question

【題目】材料：對任意一個n位正整數(shù)M（n≥3），若M與它的十位數(shù)字的p倍的差能被整數(shù)q整除，則稱這個數(shù)為“p階q級數(shù)”，例如：712是“5階7級數(shù)”，因為＝101；712也是“12階10級數(shù)”，因為＝70．

（1）若415是“5階k級數(shù)”，且k＜300，求k的最大值；

（2）若一個四位數(shù)M的百位數(shù)字比個位數(shù)字大2，十位數(shù)字為1，且M既是“4階13級數(shù)”又是“6階5級數(shù)”，求這個四位數(shù)M．

Answer 1

【答案】（1）k的最大值為205；（2）滿足要求的M為8311或6816．

【解析】

（1）根據(jù)材料中給出的“p階q級數(shù)”的含義及k的取值范圍即可得出答案．

（2）先設(shè)未知數(shù)表示出M，然后根據(jù)M既是“4階13級數(shù)”又是“6階5級數(shù)”列出式子并結(jié)合整除規(guī)律即可解答．

（1）∵415是“5階k級數(shù)”，

所以為整數(shù)，

∵k＜300，

∴k的最大值為205．

（2）設(shè)M為千位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，則百位數(shù)字為y+2，

∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）

∵M既是“4階13級數(shù)”又是“6階5級數(shù)”，

∴與均為整數(shù)，

∴M﹣4是13的整數(shù)倍，M﹣6是5的整數(shù)倍，

∴y＝6或1，

當y＝1時，M﹣4＝1000x+307，

＝＝77x+24﹣，

∴x＝8，

∴M＝8311．

當y＝6時，M﹣4＝1000x+812

＝＝77x+63﹣，

∴x＝6，

∴M＝6816．

綜上所述，滿足要求的M為8311或6816．