Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，OC=4，∠OAC=60°．

(Ⅰ)如圖①，過點C作⊙O的切線，與BA的延長線交于點P，求∠P的大小；

(Ⅱ)如圖②，P為AB上一點，CP延長線與⊙O交于點Q．若AQ=CQ，求∠APC的大小及PA的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）30°；（Ⅱ）45°；2+

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形，得出∠AC=OC=4，AOC=60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，進而求得∠P=∠ACP=30°；
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，根據(jù)圓周角定理求得∠Q=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠QAC=∠QCA=75°，∠OAC=∠OCA=60°，即可求得∠QAO=∠QCO=15°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠APC=45°，得出△PCD是等腰直角三角形，解直角三角形求得CD，AD，即可求得PA．

解：（Ⅰ）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OC=4，∠AOC=60°，
∵過點C作⊙O的切線，與BA的延長線交于點P，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=∠ACP=30°；
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，
∵∠AOC=60°，
∴∠Q=30°，
∵AQ=CQ，
∴∠QAC=∠QCA=75°，
∵∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠QAO=∠QCO=15°，
∵∠AOC=∠POC+∠APC，
∴∠APC=60°-15°=45°，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD=CD，
∵CD=AC=，AD=AC=2，

∴PD=，

∴PA=AD+PD=2+.