【題目】如圖,正方形的邊、在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)坐標(biāo)為,將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 ,得到正方形, 交線段于點(diǎn), 的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn),連結(jié)、.
(1)求證:平分 ;
(2)在正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)連結(jié)、、、,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,四邊形是否能在點(diǎn)G滿足一定的條件下成為矩形?若能,試求出直線的解析式;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)可以得出CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理(HL)即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG,即∠ DCG=∠BCG,由此即可得出CG平分∠DCB;
(2)由(1)的Rt△CDG≌Rt△CBG,可得出BG=DG,根據(jù)直角三角形的判定定理(HL)即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD,即OH=HD,再根據(jù)線段間的關(guān)系即可得出 ;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論即可找出當(dāng)G點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形,再根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)G的坐標(biāo),設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,由此可得出,根據(jù)勾股定理即可求得 的值,即可得出點(diǎn)H的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)H、G的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式.
試題解析:(1)證明:
∵正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到正方形,
∴, ,
在和中, ,
∴≌ ,
∴ ,
即平分.
(2)由(1)證得: ≌,∴ ,
在和中, ,
∴≌ ,
∴ ,
∴ .
(3)四邊形可為矩形..
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),四邊形為矩形.如圖, ,
由(2)證得: ,又,
則,
∴四邊形為矩形..
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),
∴ AB=6,∴,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為..
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則.
∵, ,
∴, ,
在中, , , ,由勾股定理得: ,
解得: ,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的解析式為: ,
又直線過(guò)點(diǎn) 、,∴,解得: ,
∴ 直線的解析式為: .
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(1)∠1= ,∠2= .
(2)請(qǐng)觀察∠1,∠2與∠ABC分別有怎樣的關(guān)系,請(qǐng)你由此歸納一個(gè)真命題.
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【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝曾提出這樣一個(gè)問(wèn)題:“直田積(矩形面積),八百六十四(平方步),只云闊(寬)不及長(zhǎng)一十二步(寬比長(zhǎng)少12步),問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步.”如果設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步,那么根據(jù)題意列出的方程為_____.
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【題目】多項(xiàng)式3x3y+2x2y–4xy2+2y–1是__________次__________項(xiàng)式.
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【題目】已知:正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)如圖(a),可以計(jì)算出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為.如圖(b),求兩個(gè)并排成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng).n個(gè)呢?(2)若把(c)(d)兩圖拼成如下“L”形,過(guò)C作直線交DE于A,交DF于B.若DB=,求DA的長(zhǎng)度.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是( )
A.2.5秒 B.3秒 C.3.5秒 D.4秒
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