Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC，BC，OE⊥AC于點E，ED∥AB交BC于點F，且∠BCD=∠A

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）求證：；

（3）若，BC=6，求CD的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，證明∠OCA+∠BCO=90°，∠OCA=∠BCD，得到OC⊥CD，問題得證；

（2）證明∠CED=∠FCD，證明△CFD∽△ECD，根據相似性質即可證明；

（3）求出AB、AC、CE、CF，根據（2），證明CD∶ED=FD∶CD=3∶4，設，則根據列方程，解方程即可．

解：（1）連接OC.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠BCO=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A，

∵∠BCD=∠A，

∴∠OCA=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCO=90°，

即∠DCO=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵ED∥AB，

∴∠CED=∠A，

∵∠FCD=∠A，

∴∠CED=∠FCD，

∵∠D=∠D，

∴△CFD∽△ECD，

∴ ，

即 ，

（3）Rt△ACB中， ，

∴ ，

∴ ，

∵OE⊥AC，

∴ ，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

即 ，

∴ ，

由（2）知△CFD∽△ECD ，

∴，

即 ，

設，則，

由得，

，

解得： ，

∴．