Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中點(diǎn)；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用相似三角形的判定定理，以及正方形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．

解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴CD＝2CE，即AB＝BC＝2CE，
①當(dāng)∠APB＝∠EPC時(shí)，結(jié)合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②當(dāng)∠APE＝∠APB≠60°時(shí)，則有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，則有BC＝2PC，可知PC＝CE，則△PCE為等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；④當(dāng)BP：BC＝2：3時(shí)，則有BP：PC＝2：1，且AB：CE＝2：1，結(jié)合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故選C．