【題目】如圖1,一次函數(shù)y=2x+4的圖象交x軸于點A,y軸于點B,與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于點C,OC,SAOC=2.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)如圖3,點E, F分別是線段AB和線段OB上的動點,點E從點B出發(fā),沿線段BA運動,點F從點O出發(fā),沿線段OB運動,速度都是每秒1個單位長度。運動時間為t秒,當(dāng)其中一點到達(dá)終點后,另一點也隨之停止運動.是否存在某個時刻。使得BEF是直角三角形?若存在,求出t的值若不存在,請說明理由:

(3)如圖2,過點BBMOB交反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象于點M,點N為反比例函數(shù) y= (x>0)的圖象上一點,∠ABM =BAN,求直線AN的解析式,

【答案】(1)y=(2)存在某個時刻,使得BEF是直角三角形,此時t=20-88-16 (3)y=

【解析】

(1)先由一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4x軸、y軸上點的坐標(biāo)特征,求出A(2,0),B(0,4),再根據(jù)SAOC=2,利用三角形的面積公式求出C(1,2),然后運用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)題意可得:OF=t,BF=4-t,BE=t,當(dāng)△BEF是直角三角形時,有兩種情況,∠BFE=90或∠BEF=90,再根據(jù)兩角相等證明△BEF△BOA相似,列方程即可求出t的值

(3)由A(2,0),B(0,4),C(1,2)三點的坐標(biāo),可知CAB的中點,如圖2,延長BMAN的延長線于D,根據(jù)等角對等邊得到DB=DA,再連結(jié)DC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DC⊥BA,則∠DCB=∠BOA=90°,由平行線的性質(zhì)易得∠DBA=∠BAO,那么△DBC∽△BAO,得出DB:BC=BA:AO,求出DB=5,得到D(5,4),然后運用待定系數(shù)法即可求出直線AN的解析式;

(1)∵一次函數(shù)y=-2x+4的圖象交x軸于點A,交y軸于點B,
∴A(2,0),B(0,4).
設(shè)C(m,n).
∵SAOC=2,
×2×n=2,
解得n=2.
n=-2m+4,
∴m=1,
∴C(1,2),
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

(2)根據(jù)題意可得:OF=t,BF=4-t,BE=t,(0

RtABO中,∵A(2,0),B(0,4)則AB==2

當(dāng)BEF是直角三角形時,有兩種情況,

①當(dāng)∠BFE=90時,

∴∠BFE=∠AOB ∵∠EBF=∠ABO

BEFBAO

∴t=20-8

②當(dāng)∠BEF=90

同理可得BEFBOA

∴t=8-16

綜上所述,存在某個時刻使得BEF是直角三角形,此時t=20-8

8-16

(3)∵A(2,0),B(0,4),C(1,2),
∴CAB的中點,AO=2,BO=4,AB=2,
∴BC=

如圖2,延長BMAN的延長線于D,
∵∠ABM=∠BAN,
∴DB=DA,
連結(jié)DC,則DC⊥BA,
∵BM⊥OB,
∴BM∥OA,
∴∠DBA=∠BAO,
又∠DCB=∠BOA=90°,
∴△DBC∽△BAO,
∴DB:BC=BA:AO,

∴DB=5,
∴D(5,4).
設(shè)直線AN的解析式為y=mx+b,
∵直線ANA(2,0)、D(5,4),
,解得
∴直線AN的解析式為y=;

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