Question

【題目】探究題．

已知:如圖．

求證:

老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對(duì)圖形進(jìn)行變式，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

（1）小穎首先完成了對(duì)這道題的證明，在證明過(guò)程中她用到了平行線的一條性質(zhì)，小穎用到的平行線性質(zhì)可能是_________．

（2）接下來(lái)，小穎用《幾何畫(huà)板》對(duì)圖形進(jìn)行了變式，她先畫(huà)了兩條平行線然后在平行線間畫(huà)了一點(diǎn)，連接后，用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)分別得到了圖①②③，小穎發(fā)現(xiàn)圖②正是上面題目的原型，于是她由上題的結(jié)論猜想到圖①和③中的與之間也可能存在著某種數(shù)量關(guān)系于是她利用《幾何畫(huà)板》的度量與計(jì)算功能，找到了這三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．

請(qǐng)你在小穎操作探究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)完成下面的問(wèn)題：

①猜想圖①中與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明：

②補(bǔ)全圖③，直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系：_______．

（3）學(xué)以致用：一個(gè)小區(qū)大門(mén)欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于平行于地面

，若，則_______．

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）①∠BDF=∠B+∠F．理由見(jiàn)解析；②∠F=∠D+∠F；（3）120°．

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)證明即可．
（2）①結(jié)論：∠BDF=∠B+∠F．如圖①中，作DK∥AB．利用平行線的性質(zhì)證明即可．
②如圖③中，結(jié)論：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)證明即可．
（3）利用圖1中的結(jié)論，計(jì)算即可．

（1）證明：如圖1中，

∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案為：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
（2）解：①結(jié)論：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如圖①中，作DK∥AB．

∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如圖③中，結(jié)論：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．

理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案為∠F=∠D+∠F．
（3）解：如圖2中，

∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案為120°．