Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，若x軸上的點(diǎn)A與y軸上的點(diǎn)B同時(shí)在某函數(shù)的圖象上則稱△AOB為該函數(shù)圖象的“截距三角形”，如圖①，△AOB為直線l的“截距三角形”．

（1）某一次函數(shù)圖象的“截距三角形”是等腰直角三角形，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)表達(dá)式（寫出一個(gè)即可）；

（2）如圖②，若拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限的“截距三角形”與直線y＝﹣x+4的“截距三角形”完全重合，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖③，在（2）的條件下，在第一象限的拋物線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線在第一象限的“截距三角形”的直角邊或直角邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，與斜邊或斜邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段DE的長(zhǎng)度為d．求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）如圖④，在（3）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交x軸于點(diǎn)F．求四邊形ODEF的周長(zhǎng)不變時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；（2）y＝﹣x2+3x+4；（3）d＝|m2﹣3m|；（4）m＞3或m＜0．

【解析】

（1）按照條件，寫出表達(dá)式即可，答案不唯一；

（2）點(diǎn)（4，0）、（0，4）是拋物線上的點(diǎn)，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+3m+4），則點(diǎn)E（m2-3m，-m2+3m+4），d=DE=m2-3m，即可求解；

（4）四邊形ODEF的周長(zhǎng)=2OD+2CE=2（m2-3m-m2+3m+4）=8，d=DE=m2-3m＞0，即可求解．

（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；

（2）y＝﹣x+4，令x＝4，則y＝4，令y＝0，則x＝4，

則點(diǎn)（4，0）、（0，4）是拋物線上的點(diǎn)，

將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+3m+4），則點(diǎn)E（m2﹣3m，﹣m2+3m+4），

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C之上時(shí)，

即﹣m2+3m+4≥4（即：0≤m≤3），

d＝DE＝﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+3m；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C之下，

同理d＝DE＝m2﹣3m，此時(shí)，m＞3或m＜0；

綜上，d＝|m2﹣3m|；

（4）由（2）知：

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C之上時(shí)，

四邊形ODEF的周長(zhǎng)＝2OD+2CE＝2（﹣m2+3m﹣m2+3m+4）＝﹣4m2+12m+16，不是常數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C之下時(shí)，

四邊形ODEF的周長(zhǎng)＝2OD+2CE＝2（m2﹣3m﹣m2+3m+4）＝8，是常數(shù)；

即m＞3或m＜0，四邊形ODEF的周長(zhǎng)不變．