Question

【題目】在汛期到來之際，某水泵廠接到生產一批小型抽水泵的緊急任務。要求必須在10天內（含10天）完成任務。為提高生產效率，工廠加班加點，接到任務的第一天就生產了水泵20臺，以后每天生產的水泵都比前一天多2 臺。由于機器損耗等原因，當日生產的水泵數量達到28臺后，每多生產一臺，當天生產的所有水泵，平均每臺成本就增加20元。

（1）設第天生產水泵臺，直接寫出與之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）若每臺水泵的成本價（日生產量不超過28臺時）為1000元，銷售價格為每臺1400元，設第天的利潤為元，試求與之間的函數解析式，并求該廠哪一天獲得的利潤最大，最大利潤最多少？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）、當時，最大，且

【解析】

（1）根據接到任務的第一天就生產了水泵20臺，以后每天生產的水泵都比前一天多2 臺，直接得出生產這批水泵的時間為x天，與每天生產的水泵為y臺之間的函數關系式；
（2）根據基本等量關系：利潤=（每臺水泵訂購價-每臺水泵成本價-增加的其他費用）×生產量即可得出答案．

（1）由題意可得出與之間的函數解析式為：

；

（2）由題意得：當時，，解得，

當時，，

∵，

∴隨的增大而增大，

∴當時，；

當時，

即

∵此時函數圖象開口向下，在對稱軸右側，隨著的增大而減小，又天數為整數，

∴當時，元，

∵，

∴當時，最大，且。

綜上所述：、當時，最大，且