Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），拋物線y＝ax2+bx的對稱軸為x＝﹣5，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)E是AB與對稱軸x＝﹣5的交點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上的任意一點(diǎn)，在對稱軸x＝﹣5上有一動點(diǎn)M，當(dāng)△ABP的面積最大時，求|PM﹣OM|的最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）如圖2，把△ABO沿射線BA方向平移，得到△CDF，其中點(diǎn)C、D、F分別是點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)F與點(diǎn)O不重合，平移過程中，是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、E、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）|PM﹣OM|的最大值＝2；P（﹣6，﹣6）；（2）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．

【解析】

（1）△ABP的面積S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，此時點(diǎn)P（-6，-6），點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)Q（-4，-6），連接OQ交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，即可求解；

（2）直線AB的表達(dá)式為：y=-x-5，當(dāng)x=-5時，y=-，即點(diǎn)E（-5，-），則設(shè)圖線向上平移m個單位，則向左平移2m個單位，故點(diǎn)F（-2m，m），而點(diǎn)A（-10，0），即可求解．

（1）函數(shù)的對稱軸為x＝﹣5，則點(diǎn)A（﹣10，0），

則函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax（x+10），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x，

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣5，

過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+x）、點(diǎn)H（x，﹣x﹣5），

△ABP的面積S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，

∵﹣1＜0，故當(dāng)x＝﹣6時，S有最大值，此時點(diǎn)P（﹣6，﹣6），

點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)Q（﹣4，﹣6），連接OQ交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，

同理：直線OQ的表達(dá)式為：y＝x，當(dāng)x＝﹣5時，y＝﹣，即點(diǎn)M（﹣5，﹣）；

|PM﹣OM|的最大值＝OQ＝＝2；

（2）直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣5，當(dāng)x＝﹣5時，y＝﹣，即點(diǎn)E（﹣5，﹣），

則設(shè)圖線向上平移m個單位，則向左平移2m個單位，

故點(diǎn)F（﹣2m，m），而點(diǎn)A（﹣10，0），

則AF2＝（10﹣2m）2+m2，EF2＝（2m﹣5）2+（m+）2，AE2＝25+；

①當(dāng)AF＝EF時，則（10﹣2m）2+m2＝（2m﹣5）2+（m+）2，解得：m＝；

②當(dāng)AF＝AE時，同理可得：m＝﹣5或﹣11；

③當(dāng)EF＝AE時，同理可得：m＝0（舍去）或7；

綜上點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．