【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A(-1,0),B(3,0),交y軸的正半軸于點C,對稱軸交拋物線于點D,交x軸與點E,則下列結(jié)論:①2a+b=0;②b+2c>0;③a+b>am+bm(m為任意實數(shù));④一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根;⑤當△BCD為直角三角形時,a的值有2個;⑥若點P為對稱軸上的動點,則有最大值,最大值為.其中正確的有( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
【答案】C
【解析】
由A(-1,0),B(3,0)得出拋物線的對稱軸,利用對稱軸判斷①,利用對稱軸與函數(shù)的最大值判斷②,利用不同的的值對應不同的函數(shù)值,數(shù)型結(jié)合判斷③,利用兩個函數(shù)的交點判斷④,利用兩條直線互相垂直時, 求出的值判斷⑤,利用三角形任意兩邊的差小于第三邊,判斷⑥.
解:因為A(-1,0),B(3,0),所以拋物線的對稱軸是,所以,
從而①2a+b=0正確.
又因為當,>0,把2a+b=0化為代入>0得:>0,即b+2c>0,所以②正確.
又因為當,,當,,由拋物線的性質(zhì)知道:函數(shù)的最大值是,所以為任意實數(shù)時有,所以,所以③錯誤.
由化為,考查函數(shù)與的交點個數(shù),顯然兩個函數(shù)有兩個交點,所以④一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根正確.
因為拋物線過點A(-1,0),B(3,0),
所以: 解得:
所以拋物線為
所以C(0,),D(1,)而B(3,0)
所以,,,
當時,,解得:,(舍去)
當時,,解得:,(舍去)
當時,,方程無解,所以⑤正確.
如下圖,因為A,B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,所以=,當P,A,C三點不共線時總有<AC,而且只有P,A,C三點共線時有=AC,所以有最大值且等于AC,又因為A(-1,0),C(0,c),所以,故⑥錯誤.
故選C.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A,C(1,0),與y軸交于點B(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB下方的拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線,垂足為點F,交直線AB于點E,作PD⊥AB于點D.當△PDE的周長最大時,求出點P的坐標.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點O在邊AC上,⊙O與邊AC相交于點D、與邊AB相切于點E,過點D作DP∥BC交AB于點P.
(1)求證:PD=PE;
(2)連接CP,若點E是AP的中點,OD:DC=2:1,CP=13,求⊙O的半徑.
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【題目】隨著襄陽市近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展,對花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木,根據(jù)市場調(diào)查與預測,種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系,如圖1所示;種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系,如圖2所示(注:利潤與投資量的單位:萬元)
(1)分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果這位專業(yè)戶以10萬元資金投入種植花卉和樹木,求他獲得的最大利潤是多少?
(3)在(2)的條件下,根據(jù)對市場需求的調(diào)查,這位專業(yè)戶決定投入種植樹木的資金不得高于投入種植花卉的資金,他至少獲得多少利潤?
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【題目】在我們認識的多邊形中,有很多軸對稱圖形.有些多邊形,邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同;有些多邊形,邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸.回答下列問題:
(1)非等邊的等腰三角形有________條對稱軸,非正方形的長方形有________條對稱軸,等邊三角形有___________條對稱軸;
(2)觀察下列一組凸多邊形(實線畫出),它們的共同點是只有1條對稱軸,其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的,仿照類似的修改方式,請你在圖1-4和圖1-5中,分別修改圖1-2和圖1-3,得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形,并用實線畫出所得的凸五邊形;
(3)小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形,于是他選擇修改長方形,圖2中是他沒有完成的圖形,請用實線幫他補完整個圖形;
(4)請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形,并用虛線標出對稱軸.
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【題目】有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形,這兩邊中較長邊稱為智慧邊,這兩邊的 夾角叫做智慧角.
(1)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,若∠A 為智慧角,則∠B 的度數(shù)為 ;
(2)如圖①,在△ABC 中,∠A=45°,∠B=30°,求證:△ABC 是智慧三角形;
(3)如圖②,△ABC 是智慧三角形,BC 為智慧邊,∠B 為智慧角,A(3,0),點 B,C 在函數(shù) y= (x>0)的圖像上,點 C 在點 B 的上方,且點 B 的縱坐標為.當△ABC是直角三角形時,求 k 的值.
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【題目】如圖,在中,,,,點P由點A出發(fā)沿方向向終點B以每秒的速度勻速移動,點Q由點B出發(fā)沿方向向終點C以每秒的速度勻速移動,速度為.如果動點同時從點A,B出發(fā),當點P或點Q到達終點時運動停止.則當運動幾秒時,以點Q,B,P為頂點的三角形與相似?
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【題目】網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式,售后評價特別引人關(guān)注,消費者在網(wǎng)店購買某種商品后,對其有
“好評”、“中評”、“差評”三種評價,假設(shè)這三種評價是等可能的.
(1)小明對一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評價信息進行了統(tǒng)計,并列出了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
利用圖中所提供的信息解決以下問題:
①小明一共統(tǒng)計了 個評價;
②請將圖1補充完整;
③圖2中“差評”所占的百分比是 ;
(2)若甲、乙兩名消費者在該網(wǎng)店購買了同一商品,請你用列表格或畫樹狀圖的方法幫助店主求一下兩人中至少有一個給“好評”的概率.
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【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點,是以點(0,3)為圓心,2為半徑的圓上的動點,是線段的中點,連結(jié).則線段的最大值是( )
A. B. C. D.
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