Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，C（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）P（－，－）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，得出∠AEF＝45°，再根據(jù)，可得△PDE是等腰直角三角形，從而得到△PDE的周長(zhǎng)與PE的關(guān)系式，可知PE最大時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，將PE用含m的式子表示，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

（1）∵拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，﹣3），C（1，0），

∴c=-3，1+b+c=0，

解得：b=2，c=-3，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0時(shí)，x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵B（0，-3），

∴OA＝OB＝3，

∴∠BAO＝45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF＝45°，

可得△PDE是等腰直角三角形，

由A（﹣3，0），B（0，3）得直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x-3，

C△PDE=PE+PD+DP

=PE+PE+PE

=（+1）PE，

設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E(m，－m－3)，PE=－m2－3m

C△PDE=（+1）（－m2－3m）

=－（+1）（m+）2+（+1），

∴當(dāng)m=－時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)越大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－）.