Question

【題目】如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D，且ED⊥AC．

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點(diǎn)F，∠C=75°，CD=，求⊙O的半徑和BF的長

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由見解析；

（2）⊙O的半徑為2，BF=﹣2 .

【解析】分析：（1）連接OE，根據(jù)切線性質(zhì)得OE⊥DE，與已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根據(jù)同圓的半徑相等得∠1=∠B，可得出三角形為等腰三角形；

（2）通過作輔助線構(gòu)建矩形OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論．

本題解析：

解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：

如圖1，連接OE，

∵DE是⊙O的切線，

∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

設(shè)OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG=x，

∴DG=0E=2x，

根據(jù)AC=AB得：4x=x+2x+2-， x=1，∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30=，OF= =，

∴BF=﹣2，⊙O的半徑為2．