【題目】如圖,拋物線y=x2﹣(m+2)x+3(m﹣1)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),直線y=﹣2x+m+6經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)E(0,6).

(1)求直線和拋物線的解析式;

(2)如果拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)H,且直線y=x與直線y=﹣2x+m+6交于點(diǎn)G,求證:四邊形OHBG是平行四邊形;

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△APB的面積等于平行四邊形OHBG的面積,若存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)證明見解析(3)存在滿足條件的點(diǎn)p,點(diǎn)p的坐標(biāo)是(0,-3)或(2,-3)或(1+,3)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可求得答案;

(2)根據(jù)直線的一次項(xiàng)的系數(shù)相等,可得平行線,根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)果;

(3)根據(jù)面積相等,可得關(guān)于x的方程,根據(jù)解方程,可得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析(1)將點(diǎn)E(0,6)代入直線y=-2x+m+6得

M+6=6,則m=0,∴直線的解析式為y=-2x+6,

拋物線的解析式為y=x2-2x-3;

(2)∵y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)2-4

∴B(3,0),C(0,-3),D(1,-4),對(duì)稱軸為x=1

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3

則3k-3=0,即k=1,∴直線BC的解析式為y=x-3

則BC∥OG,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,-2)

設(shè)直線OH的解析式為y=ax,則a=-2,∴直線OH的解析式為y=-2x,

∴OH∥BG,∴四邊形OHBG是平行四邊形;

(3)存在滿足條件的點(diǎn)p,點(diǎn)p的坐標(biāo)是(0,-3)或(2,-3)或(1+,3)

∵OB=3,△OBH的OB邊上的高為2,

∴平行四邊形的面積=2xx3x2=6

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2-2x-3)

AB=4,×4|x2-2x-3|=6,解得x=1±或x=0或x=2

∴P的坐標(biāo)為(0,-3)或(2,-3)或(1-,3)或(1+,3)

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