Question

【題目】如圖，己知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝2.5時(shí)，PQ＝　 　；

（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在．當(dāng)t＝，t＝，t＝3.4時(shí)，△PQC為等腰三角形．

【解析】

（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，求出QE，PE，利用勾股定理即可解決問題．
（2）由三角形的面積公式即可求得；
（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當(dāng)CQ=CP時(shí)，②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，③當(dāng)PQ=PC時(shí)，列方程求解即可．

（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵t＝2.5，

∴AQ＝5，AP＝2.5，

∴QE∥BC，

,

,

∴QE＝3，AE＝4，

∴PE＝4﹣2.5＝1.5，

∴PQ＝，

故答案為：．

（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積＝S△AQP，

當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，S＝，（0＜t≤5）

當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，△ABC被直線PQ掃過的面積＝S四邊形ABQP，

∴S四邊形ABQP＝S△ABC﹣S△PQC＝×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）＝﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是：

S＝ ．

（3）存在．

當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上時(shí)，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE＝t，CE＝AC﹣AE＝8﹣t，PQ＝t，

∴CQ＝，

①當(dāng)CQ＝CP時(shí)，

即：，

解得；t＝，

②當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，

即：，

解得：t＝或8（不合題意舍去），

③當(dāng)PQ＝PC時(shí)，

即：t＝8﹣t，

解得：t≈3.4；

當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時(shí)，

∵∠ACB＝90°，

∴△PQC是等腰直角三角形，

∴CQ＝CP，

∴8﹣t＝16﹣2t，

∴t＝8，∴P，Q，C重合，不合題意，

綜上所述：當(dāng)t＝，t＝，t＝3.4時(shí)，△PQC為等腰三角形．