Question

【題目】將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．DF=8．

（1）若P是BC上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)PA=DF時(shí)，求此時(shí)∠PAB的度數(shù)；

（2）將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．

①求證：AD∥BF；

②若P是BC的中點(diǎn)，連接FP，將等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時(shí)，F(xiàn)P長度最大，最大值為 （直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）∠PAB的度數(shù)為15°或75°；

（2）①見試題解析；

②210°，16+4．

【解析】

試題分析：（1）利用銳角三角函數(shù)求出∠APH，然后分兩種情況計(jì)算即可；

（2）①作出AM⊥BC，DN⊥BC，得到AM∥DN，在計(jì)算出AM，DN，得到AM=DN，出現(xiàn)平行四邊形AMND，②先判斷出PF最大時(shí)，點(diǎn)P落在FB的延長線上，再求解即可．

如圖1，

D，

試題解析：（1）作AH⊥BC于H，∴AH=BC，∵DF=8，∠DEF=30°，∴BC=DE==8，

∴AH=4，當(dāng)PA=DF=8時(shí)，sin∠APH==，∴∠APH=60°，

①∵∠ABC=45°，∠AP1H=60°，∴∠BAP1=∠AP1H﹣∠ABC=15°，

②∵∠ACB=45°，∠AP2H=60°，∴∠CAP2=∠AP2B﹣∠ACB=15°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAP2=90°﹣∠CAP2=75°；∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°；

（2）①如圖2作AM⊥BC，DN⊥BC，在Rt△ABC中，AB=AC，BC=8，

∴AM=BC=×8=4，在Rt△BCF中，∠F=60°，DF=8，∴DN=DF×sin∠F=8×=4，

∴AM=DN，∵AM∥DN，∴四邊形AMND是平行四邊形，∴AD∥BC；

②∵P是BC的中點(diǎn)，且FP長度最大，則有點(diǎn)F，B，P在同一條直線上，

即：點(diǎn)P在FB的延長線上，

∴BC邊旋轉(zhuǎn)180°，

∵∠CDF=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角α=210°，

∵P是BC的中點(diǎn)，BC=8，

∴BP=4，

∵BF=2DF=16，

∴FP=16+4，

故答案為210°，16+4．