【題目】如圖1,在菱形ABCD中,AB=,tan∠ABC=2,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(秒),將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個角α(α=∠BCD),得到對應(yīng)線段CF.
(1)求證:BE=DF;
(2)當(dāng)t= 秒時(shí),DF的長度有最小值,最小值等于 ;
(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí),△EPQ是直角三角形?
【答案】(1)見解析;(2)t=(6+6),最小值等于12;(3)t=6秒或6秒時(shí),△EPQ是直角三角形
【解析】
(1)由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE,結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得;
(2)作BE′⊥DA交DA的延長線于E′.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)E′時(shí),由DF=BE′知此時(shí)DF最小,求得BE′、AE′即可得答案;
(3)①∠EQP=90°時(shí),由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°,根據(jù)AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE;
②∠EPQ=90°時(shí),由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合,可得DE=6.
(1)∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,
∴∠DCF=∠BCE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴DC=BC,
在△DCF和△BCE中,
,
∴△DCF≌△BCE(SAS),
∴DF=BE;
(2)如圖1,作BE′⊥DA交DA的延長線于E′.
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)E′時(shí),DF=BE′,此時(shí)DF最小,
在Rt△ABE′中,AB=6,tan∠ABC=tan∠BAE′=2,
∴設(shè)AE′=x,則BE′=2x,
∴AB=x=6,x=6,
則AE′=6
∴DE′=6+6,DF=BE′=12,
時(shí)間t=6+6,
故答案為:6+6,12;
(3)∵CE=CF,
∴∠CEQ<90°,
①當(dāng)∠EQP=90°時(shí),如圖2①,
∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,
∴∠CBD=∠CEF,
∵∠BPC=∠EPQ,
∴∠BCP=∠EQP=90°,
∵AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2,
∴DE=6,
∴t=6秒;
②當(dāng)∠EPQ=90°時(shí),如圖2②,
∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD,
∴EC與AC重合,
∴DE=6,
∴t=6秒,
綜上所述,t=6秒或6秒時(shí),△EPQ是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,AD是∠BAC的平分線,E為AD上一點(diǎn),以BE為一邊且在BE下方作等邊三角形BEF,連接CF.
(1)求證:△ABE≌△CBF;
(2)求∠ACF的度數(shù).
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【題目】 如圖,圓O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,D是劣弧的中點(diǎn),連AD并延長與過C點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P,OD與BC相交于E;
(1)求證:OE=AC;
(2)求證:;
(3)當(dāng)AC=6,AB=10時(shí),求切線PC的長.
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【題目】如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖,燈柱BC的高為10米,燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°.路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE的長為13.3米,從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為α和45°,且tanα=6.求燈桿AB的長度.
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【題目】“綠水青山就是金山銀山”,隨著生活水平的提高,人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高.孝感市槐蔭公司根據(jù)市場需求代理、兩種型號的凈水器,每臺型凈水器比每臺型凈水器進(jìn)價(jià)多200元,用5萬元購進(jìn)型凈水器與用4.5萬元購進(jìn)型凈水器的數(shù)量相等.
(1)求每臺型、型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元;
(2)槐蔭公司計(jì)劃購進(jìn)、兩種型號的凈水器共50臺進(jìn)行試銷,其中型凈水器為臺,購買資金不超過9.8萬元.試銷時(shí)型凈水器每臺售價(jià)2500元,型凈水器每臺售價(jià)2180元.槐蔭公司決定從銷售型凈水器的利潤中按每臺捐獻(xiàn)元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金,設(shè)槐蔭公司售完50臺凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤為,求的最大值.
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【題目】“安全教育”是學(xué)校必須開展的一項(xiàng)重要工作.某校為了了解家長和學(xué)生參與“暑期安全知識學(xué)習(xí)”的情況,進(jìn)行了網(wǎng)上測試,并在本校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.若把參與測試的情況分為類情形:.僅學(xué)生自己參與;.家長和學(xué)生一起參與;.僅家長自己參與;.家長和學(xué)生都未參與.根據(jù)調(diào)查情況,繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
在這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中類所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校名學(xué)生中“家長和學(xué)生都未參與”的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,四邊形ADBE是平行四邊形.
(1)求證:四邊形ADBE是矩形;
(2)求矩形ADBE的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,D、E為BC上的點(diǎn),AD平分∠BAE,CA=CD.
(1)求證:∠CAE=∠B;
(2)若∠B=50°,∠C=3∠DAB,求∠C的大。
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【題目】下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成的,其中,第1個圖形中面積為1的正方形有9個,第2個圖形中面積為1的正方形有14個,……,按此規(guī)律,則第幾個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為2019個( )
A.400B.401C.402D.403
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