【題目】已知:如圖, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足為E,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,PB分別與線段CF,AF相交于P,M.
(1)求證:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠F=∠MCD,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD,
(2)由AB=AC=CD推出∠CDA=∠CAD=∠CPM,求出∠MPF=∠CDM,∠PMF=∠BMA=∠CMD,在△DCM和△PMF中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.
(1)∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,
∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°,
在△ACE和△ABE中,∵∠AEC=∠AEB,AE=AE,∠CAE=∠BAE,
∴△ACE≌△ABE(ASA),
∴AB=AC,
∵∠CAE=∠CDE,
∴AM是BC的垂直平分線,
∴CM=BM,CE=BE,
∴∠CMA=∠BMA,
∵AE=ED,CE⊥AD,
∴AC=CD,
∴AB=CD;
(2)∠F=∠MCD,
理由是:∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD,
∴∠MPC=∠CDA,
∴∠MPF=∠CDM,
∴∠MPF=∠CDM(等角的補(bǔ)角相等),
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°,∠F+∠MPF+∠PMF=180°,
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD,
∴∠MCD=∠F.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn) 經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0)
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)?并請(qǐng)求出其中某一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,并用相關(guān)的思想方法解決問題.
計(jì)算:(1﹣﹣﹣)×(++)﹣(1﹣﹣﹣)×(++).
令++=t,則原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=,
問題:
(1)計(jì)算:(1﹣﹣﹣)×(++)﹣(1﹣﹣﹣)×(++);
(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,OA=OC,則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個(gè)字母的等式或不等式:①=-1;②ac+b+1=0;③abc>0;④a-b+c>0.正確的序號(hào)是______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,已知AB∥CD,求證:∠EGF=∠AEG+∠CFG
(2)如圖2,已知AB∥CD,∠AEF與∠CFE的平分線交于點(diǎn)G.猜想∠G的度數(shù)。證明你的猜想
(3)如圖3,已知AB∥CD,EG平分∠AEH,EH平分∠GEF,FH平分∠CFG,FG平分∠HFE,∠G=95°,求∠H的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上,反個(gè)比例函數(shù)y= (k≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m,2)和CD邊上的點(diǎn)E(n, ),過點(diǎn)E作直線l∥BD交y軸于點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)是( )
A. (0,- )B. (0,- )
C. (0,-3)D. (0,- )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形ABCD的邊AB在y軸正半軸上,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b).
(1)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (用a或b表示);
(2)如果將一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為x的值,縱坐標(biāo)作為y的值,代入方程2x+3y=12成立,就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程2x+3y=12的解.已知頂點(diǎn)B和D的坐標(biāo)都是方程2x+3y=12的解,求a,b的值;
(3)在(2)的條件下,平移長(zhǎng)方形ABCD,使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)D,得到新的長(zhǎng)方形EDFG,
①這次平移可以看成是先將長(zhǎng)方形ABCD向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移 個(gè)單位長(zhǎng)度的兩次平移;
②若點(diǎn)P(m,n)是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),且點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程2x+3y=12的解,試說(shuō)明平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)也是方程2x+3y=12的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)若此方程的一個(gè)根為1,求的值;
(2)求證:不論取何實(shí)數(shù),此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計(jì)共抽查了________名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為___________;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對(duì)方聯(lián)系,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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