Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4經過A（﹣3，0），B（5，﹣4）兩點，與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求△ABC的面積；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）10；（3）存在，M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）.

【解析】

（1）將點A，B代入y＝ax2+bx﹣4即可求出拋物線解析式；

（2）在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，求出點C的坐標，推出BC∥x軸，即可由三角形的面積公式求出△ABC的面積；

（3）求出拋物線y＝x2﹣x﹣4的對稱軸，然后設點M（，m），分別使∠AMB＝90°，∠ABM＝90°，∠AMB＝90°三種情況進行討論，由相似三角形和勾股定理即可求出點M的坐標．

解：（1）將點A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣4，

得，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣4；

（2）在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，

當x＝0時，y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

∵B（5，﹣4），

∴BC∥x軸，

∴S△ABC＝BCOC

＝×5×4

＝10，

∴△ABC的面積為10；

（3）存在，理由如下：

在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，

對稱軸為：，

設點M（，m），

①如圖1，

當∠M1AB＝90°時，

設x軸與對稱軸交于點H，過點B作BN⊥x軸于點N，

則HM1＝m，AH＝，AN＝8，BN＝4，

∵∠AM1H+∠M1AN＝90°，∠M1AN+∠BAN＝90°，

∴∠M1AH＝∠BAN，

又∵∠AHM1＝∠BNA＝90°，

∴△AHM1∽△BNA，

∴，

即，

解得，m＝11，

∴M1（，11）；

②如圖2，

當∠ABM2＝90°時，

設x軸與對稱軸交于點H，BC與對稱軸交于點N，

由拋物線的對稱性可知，對稱軸垂直平分BC，

∴M2C＝M2B，

∴∠BM2N＝∠AM2N，

又∵∠AHM2＝∠BNM2＝90°，

∴△AHM2∽△BNM2，

∴，

∵HM2＝﹣m，AH＝，BN＝，M2N＝﹣4﹣m，

∴，

解得，，

∴M2（，﹣）；

③如圖3，

當∠AMB＝90°時，

設x軸與對稱軸交于點H，BC與對稱軸交于點N，

則AM2+BM2＝AB2，

∵AM2＝AH2+MH2，BM2＝BN2+MN2，

∴AH2+MH2+BN2+MN2＝AB2，

∵HM＝﹣m，AH＝，BN＝，MN＝﹣4﹣m，

即，

解得，m1＝﹣2，m2＝﹣﹣2，

∴M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）；

綜上所述，存在點M的坐標，其坐標為M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）．