【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=與拋物線y=+bx+c交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣8.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點(diǎn)D,作PEAB于點(diǎn)E.

設(shè)PDE的周長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的最大值;

連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí),直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)l=;當(dāng)x=﹣3時(shí),最大值為15;,2),,2),,).

【解析】

試題分析:(1)利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;

(2)利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD,再利用同角的余角相等求出DPE=BAO,根據(jù)直線k值求出BAO的正弦和余弦值,然后表示出PE、DE,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;

分(i)點(diǎn)G在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=AG,PAG=90°,再求出PAH=AGO,然后利用“角角邊”證明APH和GAO全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=AO=2,然后利用二次函數(shù)解析式求解即可;(ii)點(diǎn)F在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)PMx軸于M,作PNy軸于N,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=FP,APF=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出APM=FPN,然后利用“角邊角”證明APM和FPN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PM=PN,從而得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解即可.

試題解析:(1)令y=0,則=0,解得x=2,

x=﹣8時(shí),y==

點(diǎn)A(2,0),B(﹣8,),

把點(diǎn)A、B代入拋物線得,,解得

所以,該拋物線的解析式;

(2)①∵點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)D在直線上,

PD=﹣()=,

PEAB,

∴∠DPE+PDE=90°,

PDx軸,

∴∠BAO+PDE=90°,

∴∠DPE=BAO,

直線解析式k=,

sinBAO=,cosBAO=

PE=PDcosDPE=PD,

DE=PDsinDPE=PD,

∴△PDE的周長(zhǎng)為l=PD+PD+PD=PD=)=,

即l=

l=,

當(dāng)x=﹣3時(shí),最大值為15;

②∵點(diǎn)A(2,0),

AO=2,

分(i)點(diǎn)G在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于H,

在正方形APFG中,AP=AG,PAG=90°,

∵∠PAH+OAG=90°,AGO+OAG=90°,

∴∠PAH=AGO,

APH和GAO中,

PAH=AGO,AHP=GOA=90°,AP=AG,

∴△APH≌△GAO(AAS),

PH=AO=2,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,

=2,

整理得,+3x﹣2=0,

解得x=,

點(diǎn),2),,2);

(ii)點(diǎn)F在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)PMx軸于M,作PNy軸于N,

在正方形APFG中,AP=FP,APF=90°,

∵∠APM+MPF=90°,FPN+MPF=90°,

∴∠APM=FPN,

APM和FPN中,

APM=FPN,AMP=FNP=90°,AP=AF,

∴△APM≌△FPN(AAS),

PM=PN,

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,

=x,

整理得,+7x﹣10=0,

解得=,=(舍去),

點(diǎn),,

綜上所述,存在點(diǎn),2),,2),,

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