Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F.

(1)求∠ABE的大小及弧DEF的長(zhǎng)度；

(2)在BE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得弧DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)G的最短距離為2－2，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE=45°，；（2）4．

【解析】（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進(jìn)而得到∠DAB，然后運(yùn)用圓弧長(zhǎng)公式就可求出的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)AG=AP+PG=2=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運(yùn)用勾股定理求出BE，就可求出BG的長(zhǎng)．

（1）連接AE，如圖1．

∵AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．

∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的長(zhǎng)度為=；

（2）如圖2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)AG=AP+PG=2+2﹣2=2，AB=2，∴AG=AB．

∵AE⊥BG，∴BE=EG．

∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．