Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑兩弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B，F為圓心，大于BF為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF．

（1）AB　 　AF（選填“＝”，“≠”，“＞”，“＜”）：AE　 　∠BAD的平分線．（選填“是”或“不是”）

（2）在（1）的條件下，求證：四邊形ABEF是菱形．

（3）AE，BF相交于點(diǎn)O，若四邊形ABEF的周長(zhǎng)為40，BF＝10，則AE的長(zhǎng)為　 　，∠ABC＝　 　°．

Answer 1

【答案】（1）＝，是；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)角平分的性質(zhì)和尺規(guī)作圖原理即可得到答案；

（2）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)首先證明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解決問題．

（1）解：AB＝AF；AE平分∠BAD的平分線；

故答案為＝，是；

（2）證明：∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE＝∠FAE，

∵AF∥BE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝EB，

而AF＝AB，

∴AF＝BE，AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

而AB＝AF，

∴四邊形ABEF是菱形；

（3）解：∵四邊形ABEF是菱形；

而四邊形ABEF的周長(zhǎng)為40，

∴AB＝10，OA＝OE，OB＝OF＝5，AE⊥BF，

∴△ABF為等邊三角形，

∴∠BAF＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∵OA＝OB＝5，

∴AE＝2OA＝10．

故答案為10，120．