Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于點F。

（1）求證：AE=BE
（2）求證：FE是⊙O的切線
（3）若BC=6，F(xiàn)E=4，求FC和AG的長。

Answer 1

（1）連接EC，根據(jù)BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連接OE，根據(jù)三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結(jié)合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結(jié)論；（3）CF=2，

試題分析：（1）連接EC，根據(jù)BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）連接OE，根據(jù)三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結(jié)合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結(jié)論；
（3）由BC=2OE=6可得OE=3，再根據(jù)勾股定理可求得OF=5，即得CF=2，由OE∥AC可得△FCG∽△FEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得CG的長，從而求得結(jié)果.
（1）連接EC，

∵BC為⊙OD 的直徑，
∴CE⊥AB
又∵AC=BC，
∴AE=BE；
（2）連接OE，
∵點O、E分別是BC、AB的中點，
∴OE∥AC，
∵EG⊥AC， 
∴OE⊥EF
∴FE是⊙O的切線；
（3）∵BC=2OE=6，
∴OE=3
∵FE=4，   
∴OF=5   
∴CF=2
∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FEO 
∴ 
又∵AC=BC=6，  
∴.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．