【題目】已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E.
(1)如圖1,若∠ABC=∠ADC=90°,求證:EDEA=ECEB;

(2)如圖2,若∠ABC=120°,cos∠ADC= ,CD=5,AB=12,△CDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積;

(3)如圖3,另一組對邊AB、DC的延長線相交于點F.若cos∠ABC=cos∠ADC= ,CD=5,CF=ED=n,直接寫出AD的長(用含n的式子表示)

【答案】
(1)解:如圖1中,

∵∠ADC=90°,∠EDC+∠ADC=180°,

∴∠EDC=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠EDC=∠ABC,

∵∠E=∠E,

∴△EDC∽△EBA,

= ,

∴EDEA=ECEB.


(2)解:如圖2中,過C作CF⊥AD于F,AG⊥EB于G.

在Rt△CDF中,cos∠ADC= ,

= ,∵CD=5,

∴DF=3,

∴CF= =4,

∵SCDE=6,

EDCF=6,

∴ED= =3,EF=ED+DF=6,

∵∠ABC=120°,∠G=90°,∠G+∠BAG=∠ABC,

∴∠BAG=30°,

∴在Rt△ABG中,BG= AB=6,AG= =6 ,

∵CF⊥AD,AG⊥EB,

∴∠EFC=∠G=90°,∵∠E=∠E,

∴△EFC∽△EGA,

= ,

= ,

∴EG=9 ,

∴BE=EG﹣BG=9 ﹣6,

∴S四邊形ABCD=SABE﹣SCDE= (9 ﹣6)×6 ﹣6=75﹣18


(3)解:如圖3中,作CH⊥AD于H,則CH=4,DH=3,

∴tan∠E= ,

作AG⊥DF于點G,設AD=5a,則DG=3a,AG=4a,

∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a,

∵CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F,

易證△AFG∽△CEH,

= ,

= ,

∴a=

∴AD=5a=


【解析】要證乘積式等式成立,可化為比例式即成立,進一步確定三角形△EDC與△EBA相似;(2)特殊角、三角函數(shù)應放在直角三角形中運用,因此需作垂線構造直角三角形,恰好構造出第(1)題的圖形,借鑒第一問的思路,求出EG,進一步利用面積之差,求出四邊形ABCD的面積.(3)作垂線構造出直角三角形,利用相似三角形△AFG∽△CEH,構建比例式,求出AD的長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方),還要掌握銳角三角函數(shù)的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù))的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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【題目】已知一副三角板按如圖1方式拼接在一起,其中邊OA、OC與直線EF重合,,

1______

如圖2,三角板COD固定不動,將三角板AOB繞著點O按順時針方向旋轉一個角度,在轉動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方:

OB平分OAOC、OD其中的兩邊組成的角時,求滿足要求的所有旋轉角度的值;

是否存在?若存在,求此時的的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(4,0),且當x=﹣2和x=5時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.

(1)求實數(shù)a、b的值;
(2)如圖1,動點E,F(xiàn)同時從A點出發(fā),其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒 個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當點E停止運動時,點F隨之停止運動.設運動時間為t秒.連接EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.
①是否存在某一時刻t,使得△DCF為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S,求S關于t的函數(shù)關系式.

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【題目】將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點C按如圖方式疊放在一起,友情提示:∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°.

(1)①若∠DCB=45°,則∠ACB的度數(shù)為   

若∠ACB=140°,則∠DCE的度數(shù)為   

(2)(1)猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關系,并說明理由.

(3)當∠ACE<90°且點E在直線AC的上方時,當這兩塊三角尺有一組邊互相平行時,請直接寫出∠ACE角度所有可能的值(不必說明理由).

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【題目】受寒潮影響,淘寶網(wǎng)上的電熱取暖器銷售火旺,某電商銷售每臺成本價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電熱取暖器,下表是近兩天的銷售情況:

銷售時段

銷售數(shù)量

銷售收入

A種型號

B種型號

第一天

3臺

5臺

1800元

第二天

4臺

10臺

3100元

(進價、售價均保持不變,利潤=銷售收入﹣進貨成本)
(1)求A,B兩種型號的電熱取暖器的銷售單價;
(2)若電商準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電熱取暖器共30臺,求A種型號的電熱取暖器最多能采購多少臺?

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【題目】已知點A(﹣1,1)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點F的坐標為(0,m)(m>2),直線AF交拋物線于另一點G,過點G作x軸的垂線,垂足為H.設拋物線與x軸的正半軸交于點E,連接FH、AE,求證:FH∥AE;

(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點.點P從點C出發(fā),沿射線CD方向勻速運動,速度為每秒
個單位長度;同時點Q從原點O出發(fā),沿x軸正方向勻速運動,速度為每秒1個單位長度.點M是直線PQ與拋物線的一個交點,當運動到t秒時,QM=2PM,直接寫出t的值.

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【題目】七年級(1)班的宣傳委員在辦黑板報時,采用了下面的圖案作為邊框,其中每個黑色六邊形與6個自色六邊形相鄰若一段邊框上有25個黑色六邊形,則這段邊框共有白色六邊形

A. 100 B. 102 C. 98 D. 150

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【題目】

(本小題滿分8分)某學校組織八年級學生參加社會實踐活動,若單獨租用35座客車若干輛,則剛好坐滿;若單獨租用55座客車,則可以少租一輛,且余45個空座位.

(1)求該校八年級學生參加社會實踐活動的人數(shù);

(2)已知35座客車的租金為每輛320元,55座客車的租金為每輛400元.根據(jù)租車資金不超過1500元的預算,學校決定同時租用這兩種客車共4輛(可以坐不滿).請你計算本次社會實踐活動所需車輛的租金.

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【題目】甲、乙兩組工人同時加工某種零件,乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設備,更換設備

后,乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數(shù)量()與時間()的函數(shù)圖

象如圖所示.

1)求甲組加工零件的數(shù)量y與時間之間的函數(shù)關系式.(2分)

2)求乙組加工零件總量的值.(3分)

3)甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱,每夠300件裝一箱,零件裝箱的時間忽略不計,求經(jīng)過多長時間恰好裝滿第1箱?再經(jīng)過多長時間恰好裝滿第2箱?(5分)

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