【題目】已知點(diǎn)A(﹣1,1)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>2),直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,連接FH、AE,求證:FH∥AE;

(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒
個(gè)單位長(zhǎng)度;同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),QM=2PM,直接寫出t的值.

【答案】
(1)解:將點(diǎn)A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=ax2+bx中,

,解得: ,

∴拋物線的解析式為y= x2 x.


(2)證明:設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m,

將點(diǎn)A(﹣1,1)代入y=kx+m中,即﹣k+m=1,

∴k=m﹣1,

∴直線AF的解析式為y=(m﹣1)x+m.

聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組,

,解得: , ,

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2m,2m2﹣m).

∵GH⊥x軸,

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2m,0).

∵拋物線的解析式為y= x2 x= x(x﹣1),

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0).

設(shè)直線AE的解析式為y=k1x+b1,

將A(﹣1,1)、E(1,0)代入y=k1x+b1中,

,解得: ,

∴直線AE的解析式為y=﹣ x+

設(shè)直線FH的解析式為y=k2x+b2

將F(0,m)、H(2m,0)代入y=k2x+b2中,

,解得: ,

∴直線FH的解析式為y=﹣ x+m.

∴FH∥AE.


(3)設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b0,

將A(﹣1,1)、B(4,6)代入y=k0x+b0中,

,解得: ,

∴直線AB的解析式為y=x+2.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t﹣2,t),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,0).

當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ上時(shí),過點(diǎn)P作PP′⊥x軸于點(diǎn)P′,過點(diǎn)M作MM′⊥x軸于點(diǎn)M′,則△PQP′∽△MQM′,如圖2所示.

∵QM=2PM,

= =

∴QM′= ,MM′= t,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t﹣ , t).

又∵點(diǎn)M在拋物線y= x2 x上,

t= ×(t﹣ 2 (t﹣ ),

解得:t= ;

當(dāng)點(diǎn)M在線段QP的延長(zhǎng)線上時(shí),

同理可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t﹣4,2t),

∵點(diǎn)M在拋物線y= x2 x上,

∴2t= ×(t﹣4)2 (t﹣4),

解得:t=

綜上所述:當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒、 秒、 秒或 秒時(shí),QM=2PM.


【解析】(1)利用待定系數(shù)法把A、B坐標(biāo)代入解析式即可;(2)要證坐標(biāo)系中的兩直線平行,可求兩直線的解析式,斜率k相等,兩直線平行,常數(shù)b可不必求出;(3)須動(dòng)手畫出點(diǎn)M與線段PQ的兩種相對(duì)位置,分類討論,斜線段QM與PM的比,通過作垂線,轉(zhuǎn)化為x軸上水平線段的比,構(gòu)建方程,求出t.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).

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各部門人數(shù)及每人所創(chuàng)年利潤(rùn)統(tǒng)計(jì)表

部門

員工人數(shù)

每人所創(chuàng)的年利潤(rùn)/萬元

A

5

10

B

b

8

C

c

5


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