【題目】某公園在一個扇形OEF草坪上的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子OA,在A處安裝一個自動噴水裝置.噴頭向外噴水.連噴頭在內(nèi),柱高m,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,噴出的水流在與D點的水平距離4米處達到最高點B,點B距離地面2米.當噴頭A旋轉(zhuǎn)120°時,這個草坪可以全被水覆蓋.如圖1所示.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼,?/span>A點的坐標為(O,),水流的最高點B的坐標為(4,2),求出此坐標系中拋物線水流對應的函數(shù)關系式;
(2)求噴水裝置能噴灌的草坪的面積(結(jié)果用π表示);
(3)在扇形OEF的一塊三角形區(qū)域地塊△OEF中,現(xiàn)要建造一個矩形GHMN花壇,如圖2的設計方案是使H、G分別在OF、OE上,MN在EF上.設MN=2x,當x取何值時,矩形GHMN花壇的面積最大?最大面積是多少?
【答案】(1)y=﹣(x﹣4)2+2;(2)(平方米);(3)當x=時,S的值最大為:(平方米).
【解析】
(1)利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)利用y=0時求出圖象與x軸的交點坐標,進而得出扇形的半徑,即可得出S的值;
(3)利用銳角三角函數(shù)關系得出MH的長,再利用二次函數(shù)最值公式求出即可.
(1)根據(jù)題意得出:圖象頂點坐標為:(4,2),
故設解析式為:y=a(x﹣4)2+2,
將(0,),代入上式得:
=a(0﹣4)2+2,
解得:a=﹣,
∴拋物線水流對應的函數(shù)關系式為:y=﹣(x﹣4)2+2;
(2)當y=0時,
0=﹣(x﹣4)2+2,
解得:x1=10,x2=﹣2(舍去),
∴扇形半徑為10米,
∴S=(平方米);
(3)過點O作OA⊥EF于點A,交GH于點B,
∵∠EOF=120°,EO=FO=10,
∴∠OEF=∠OFE=30°,
∴AO=FO=5,
設MN=2x,
∴AM=BH=x,
∴BO=x,
∴MH=5﹣x,
由題意得出:
S=2x(5﹣x)=﹣x2﹣10x,
當x=﹣= 時,
S的值最大為:S= (平方米).
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【題目】已知點E在△ABC內(nèi),∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)當α=60°時(如圖1),
①判斷△ABC的形狀,并說明理由;
②求證:BD=AE;
(2)當α=90°時(如圖2),求的值.
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【題目】如圖,將函數(shù)y= (x-2)2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象,其中點A(1,m),B(4,n)平移后的對應點分別為點A′,B′,若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分),則新圖象的函數(shù)表達式是__________.
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【題目】如圖,拋物線的頂點為C,對稱軸為直線,且經(jīng)過點A(3,-1),與y軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)經(jīng)過點A的直線交拋物線于點P,交x軸于點Q,若,試求出點P的坐標.
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【題目】(1)如圖是一個組合幾何體,右邊是它的兩種視圖,在右邊橫線上填寫出兩種視圖的名稱;
視圖 視圖
(2)根據(jù)兩種視圖中尺寸(單位:cm),計算這個組合幾何體的表面積.(π取3.14)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P是AB邊上一動點,PD⊥AC于點D,點E在P的右側(cè),且PE=1,連結(jié)CE.P從點A出發(fā),沿AB方向運動,當E到達點B時,P停止運動.在整個運動過程中,圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是( )
A. 一直減小B. 一直不變C. 先減小后增大D. 先增大后減小
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【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解;
(3)應用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直并固定在點P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形AOBC的頂點O在原點,邊AO,BO分別在x軸和y軸上,點C坐標為(4,4),點D是BO的中點,點P是邊OA上的一個動點,連接PD,以P為圓心,PD為半徑作圓,設點P橫坐標為t,當⊙P與正方形AOBC的邊相切時,t的值為_____.
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