Question

【題目】如圖，在正五邊形ABCDE中，對(duì)角線(xiàn)AC，BE相交于點(diǎn)F，F是線(xiàn)段BE、AC的黃金分割線(xiàn)嗎？為什么？

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，則利用三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再證明△ABF∽△ACB，則AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)F是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)，用同樣的方法可得F是線(xiàn)段BE的黃金分割點(diǎn)．

解：F是線(xiàn)段BE、AC的黃金分割點(diǎn)．理由如下：

∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，

∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，

∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，

∴CB=CF，

∵∠ABF=∠ACB=36°，

∴△ABF∽△ACB，

∴AB：AC=AF：AB，

∴CF：AC=AF：CF，

∴點(diǎn)F是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)，

同理可得F是線(xiàn)段BE的黃金分割點(diǎn)．