Question

【題目】定義：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)．

例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．

請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是曲線C：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)．

（1） 如圖2，點(diǎn)P是OM上一點(diǎn)，∠ONP=∠M, 試說明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)； 當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)N的坐標(biāo)是時，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；

（2） 如圖3，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)N的坐標(biāo)是時，求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使△MON無自相似點(diǎn),？若存在，請直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

試題分析：（1）易證點(diǎn)P是三角形MON的自相似點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)根據(jù)M、N坐標(biāo)易知∠MNO=90°，再利用三角函數(shù)可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)ON=MN=2，要找自相似點(diǎn)只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分別畫出圖形，根據(jù)圖形性質(zhì)，結(jié)合相似可求出自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)前兩問可發(fā)現(xiàn)，要想有自相似點(diǎn)，其實質(zhì)就是在大角里面做小角，當(dāng)三個角都相等時，即△OMN為等邊三角形時，不存在自相似點(diǎn)，因此可得到直線OM的解析式y(tǒng)=x，與的交點(diǎn)就是M，從而可以求得N的坐標(biāo).

試題解析：(1)在△ONP和△OMN中，

∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON

∴△ONP∽△OMN

∴點(diǎn)P是△M0N的自相似點(diǎn).

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)．

∴.

∵，

∴, ∴.

在Rt△OPN中，.

.

. ∴.

（2）①如圖2，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H點(diǎn),

∵ ,

∴，直線OM的表達(dá)式為．

∵是△M0N的自相似點(diǎn)，∴△∽△NOM

過點(diǎn)作⊥x軸于Q點(diǎn)，

∴

∵的橫坐標(biāo)為1，∴ ∴．

如圖3，△∽△NOM ，

∴ ∴ ．

∵的縱坐標(biāo)為，

∴ ∴,

∴．

綜上所述，或．

（3）存在，．