【題目】某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動,愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn),兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中,、是的中線,于點,像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.
(特例探究)
(1)如圖1,當(dāng),時,_____,______;
如圖2,當(dāng),時,_____,______;
(歸納證明)
(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果,猜想、、三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論;
(拓展證明)
(3)如圖4,在中,,,、、分別是邊、的中點,連結(jié)并延長至,使得,連結(jié),當(dāng)于點時,求的長.
【答案】(1),,,;(2),證明見解析;(3).
【解析】
(1)由三角函數(shù)的性質(zhì)得到 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB. ,由平行線分線段成比例可得,可求得PE、PE的長,再由勾股定理得到結(jié)果;由三角函數(shù)的性質(zhì)得到 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB. ,由平行線分線段成比例可得,可求得PE、PE的長再由勾股定理得到結(jié)果;
(2) 設(shè),,則,,利用勾股定理用x、y、z分別表示出:、、,再用x、y、z分別表示出,,由 即可得出答案;
(3)連結(jié),過點作交于點,交于點,可得四邊形是平行四邊形,可得是中垂三角形,即可知:,代入(2)中結(jié)論可求得
(1)解:如圖,連接EF
∵,,
∴
∵、是的中線,是交點
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得:
∴
如圖連接EF
∵,,
∴,
∵、是的中線,是交點
∴
∴
∴,
∵
∴由勾股定理可得:,
∴,
故答案為:,,,.
(2),理由如下:
設(shè),,則,
∵
∴
∴,
∴
即
(3)連結(jié),過點作交于點,交于點,
∵,
∴
∵是的中點
∴是的中點
∵,是,的中點
∴,
∵
∴,
∴四邊形是平行四邊形
∴是的中點
∴是中垂三角形
∵,,
∴,
有(2)中結(jié)論可知:
∴
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【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦AC與BD交于點E,且AC=BD,連接AD,BC.
(1)求證:△ADB≌△BCA;
(2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的長;
(3)在(2)的條件下,延長AB至點P,使BP=2,連接PC.求證:PC是⊙O的切線.
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【題目】我校八年級有800名學(xué)生,在體育中考前進(jìn)行一次排球模擬測試,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,根據(jù)其測試成績制作了下面兩個統(tǒng)計圖,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次抽取到的學(xué)生人數(shù)為________,圖2中的值為_________.
(2)本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是__________,眾數(shù)是________,中位數(shù)是_________.
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計我校八年級模擬體測中得12分的學(xué)生約有多少人?
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【題目】已知拋物線(b,c為常數(shù)).
(1)若拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,1),求b,c的值;
(2)若拋物線上始終存在不重合的兩點關(guān)于原點對稱,求c的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,存在正實數(shù)m,n( m<n),當(dāng)m≤x≤n時,恰好有,求m,n的值.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根,下列結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正確的個數(shù)有( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,過點C(3,4)的直線交軸于點A,∠ABC=90°,AB=CB,曲線過點B,將點A沿軸正方向平移個單位長度恰好落在該曲線上,則的值為________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的最高點的縱坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)將拋物線在之間的部分記為圖象,將圖象沿直線x=1翻折,翻折后圖象記為,圖象和組成G,直線:和圖象G在x軸上方的部分有兩個公共點,求k的取值范圍;
(3)直線:與圖象G在x軸上方的部分分別交于A、M、P、Q四點,若AM=2PQ,求的值.
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