【題目】如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以B為圓心,半徑為3的⊙O沿BC方向以每秒1個單位的速度平移,當⊙O運動到與直線相交于點C時(點O在BC上),⊙O停止運動.
(1) (2) (3)
(1)當運動停止時,試判斷直線AB與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)在平移過程中,若⊙O與AB相切于點D,連接CD , 求△ACD的面積;
(3)在平移過程中,若⊙O經(jīng)過AB的中點G時, E、F為OC上的兩個動點,且EF=1.6,當四邊形AGEF的周長最小時,試求OE的長度.
【答案】
(1)
答:直線AB與⊙O相切
證明:作OD⊥AB于D,
∵BC=8,OC=3,∴OB=5
∵AC=6,在Rt△ABC中,由勾股定理,
得AB= = =10
在△ABC和△OBD中,
∵∠ACB=∠ODB=90°,∠B=∠B,∴△ABC∽△OBD
∴ = ,∴OD= = =3
∴直線AB與⊙ O相切
(2)
解:過點D作DH∥BC交AC于H
則,
∴DH== =
S△ACD=AC·DH=×6× =
(3)
連接GO與⊙O相交于點G′,則OG=OG′,過A作AN//OG相交于N,在AN上截取AM=1.6,連接MG′與BC交于點E,在EC上截取EF=1.6,
則四邊形EFAM為平行四邊形,得ME=AF,又AG、EF的長為定值,
∴此時得到的點E、F使四邊形AGEF的周長最小
∵OE∥AN,∴Rt△OEG′∽Rt△NM G′,∴ = ,
∴OE= ·NM= (AN-AM)= ×(4-1.6)= 0.8.
∴點OE的長度為0.8.
【解析】(1)由切線的定義,圓心到一直線上的距離等于半徑,則這條線是該圓的切線;所以此題可作OD⊥AB于D , 求出OD的長,即可證明;
(2)根據(jù)三角形的面積=底×高,可作作DH∥BC交AC于H , 求出底邊AC上的高DH的長,則由平行線分線段成比例可得 , 代入相關數(shù)據(jù),即可解出DH,從而求出S△ACD;
(3)根據(jù)軸對稱-求最短路徑的原理,連接GO與⊙O相交于點G′ , 由垂徑定理得OG=OG′ , 因為EF在OC上,所以可過A作AN//OG相交于N , 在AN上截取AM=1.6, 在EC上截取EF=1.6,此時,G′ , E,M三點共線,則G′E+EM值最小,即GE+AF最小,由AG、EF的長為定值,則此時四邊形AGEF的周長最;則可根據(jù)OE∥AN , 得到Rt△OEG′∽Rt△NM G′ , 根據(jù)相似比解出OE即可.
【考點精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,點C沿EF折疊后與點O重合,則∠CEO的度數(shù)是_____.
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【題目】已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=AB=4,BC=7,點E在BC邊上,將△CDE沿DE折疊,點C恰好落在AB邊上的點C'處.
(1)求∠C'DE的度數(shù);
(2)求△C'DE的面積.
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【題目】去年6月某日自治區(qū)部分市、縣的最高氣溫(℃)如下表:
區(qū)縣 | 吐魯番 | 塔城 | 和田 | 伊寧 | 庫爾勒 | 阿克蘇 | 昌吉 | 呼圖壁 | 鄯善 | 哈密 |
氣溫(℃) | 33 | 32 | 32 | 30 | 30 | 29 | 29 | 31 | 30 | 28 |
則這10個市、縣該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.32,32
B.32,30
C.30,30
D.30,32
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【題目】紅嶺中學在“五四青年節(jié)”組織九年級全體學生320人進行了一次“愛我中華”競賽,賽后隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計,制作如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,請根據(jù)圖表提供的信息,解答下列問題:
分數(shù)段(x表示分數(shù)) | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 4 | 0.1 |
60≤x<70 | 8 | b |
70≤x<80 | a | 0.3 |
80≤x<90 | 10 | 0.25 |
90≤x<100 | 6 | 0.15 |
(1)表中a= , b= , 并補全直方圖.
(2)若用扇形統(tǒng)計圖描述此成績分布情況,則分數(shù)段60≤x<70對應扇形的圓心角度數(shù)是;
(3)請估計該年級分數(shù)在80≤x<100的學生有多少人?
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【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點,E、F分別是線段BM、CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結論.
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點O,點E、F分別是線段AO、BO的中點,若AC+BD=22cm,△OAB的周長是16cm,則EF的長為cm.
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【題目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的頂點D在BC邊上,DP交AB邊于點E,DQ交AB邊于點O且交CA的延長線于點F(點F與點A不重合),設∠PDQ=∠B,BD=3.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)設BE=x,OA=y,求y關于x的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(3)當△AOF是等腰三角形時,求BE的長.
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【題目】如圖,所有正方形的中心均在坐標原點,且各邊與x軸或y軸平行,從內(nèi)到外,它們的邊長依次為2,4,6,8,…頂點依次用A1,A2,A3,A4表示,則頂點A2018的坐標是( 。
A. (504,﹣504) B. (﹣504,504) C. (505,﹣505) D. (﹣505,505)
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