【題目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的頂點(diǎn)D在BC邊上,DP交AB邊于點(diǎn)E,DQ交AB邊于點(diǎn)O且交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合),設(shè)∠PDQ=∠B,BD=3.

(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)設(shè)BE=x,OA=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)△AOF是等腰三角形時(shí),求BE的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵∠EDC=∠B+∠BED,

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED,

∵∠EDO=∠B,

∴∠BED=∠EDC,

∵∠B=∠C,

∴△BDE∽△CFD


(2)

解:過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB交AC于M(如圖1中).

∵△BDE∽△CFD,

,∵BC=8,BD=3,BE=x,

∴FC= ,

∵DM∥AB,

,即 = ,

∴DM= ,

∵DM∥AB,

∴∠B=∠MDC,

∴∠MDC=∠C,

∴CM=DM= ,F(xiàn)M= ,

∵DM∥AB,

= ,即 = ,

∴y= (0<x<3)


(3)

解:①當(dāng)AO=AF時(shí),

由(2)可知AO=y= ,AF=FC﹣AC= ﹣5,

= ﹣5,解得x=

∴BE=

②當(dāng)FO=FA時(shí),易知DO=AM= ,作DH⊥AB于H(如圖2中),

BH=BDcos∠B=3× =

DH=BDsin∠B=3× = ,

∴HO= =

∴OA=AB﹣BH﹣HO= ,

由(2)可知y= ,即 = ,解得x=

∴BE=

③當(dāng)OA=OF時(shí),設(shè)DP與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N(如圖3中).

∴∠OAF=∠OFA,∠B=∠C=∠ANE,

由△ABC≌△CDN,可得CN=BC=8,ND=5,

由△BDE≌△NAE,可得NE=BE=x,ED=5﹣x,

作EG⊥BC于G,則BG= x,EG= x,

∴GD= ,

∴BG+GD= x+ =3,

∴x= >3(舍棄),

綜上所述,當(dāng)△OAF是等腰三角形時(shí),BE=


【解析】(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可證明.(2)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB交AC于M(如圖1中).由△BDE∽△CFD,得 ,推出FC= ,由DM∥AB,得 ,推出DM= ,由DM∥AB,推出∠B=∠MDC,∠MDC=∠C,CM=DM= ,F(xiàn)M= ,于DM∥AB,得 ,代入化簡(jiǎn)即可.(3)分三種情形討論①當(dāng)AO=AF時(shí),②當(dāng)FO=FA時(shí),③當(dāng)OA=OF時(shí),分別計(jì)算即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】去年6月某日自治區(qū)部分市、縣的最高氣溫(℃)如下表:

區(qū)縣

吐魯番

塔城

和田

伊寧

庫(kù)爾勒

阿克蘇

昌吉

呼圖壁

鄯善

哈密

氣溫(℃)

33

32

32

30

30

29

29

31

30

28

則這10個(gè)市、縣該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(
A.32,32
B.32,30
C.30,30
D.30,32

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(1) (2) (3)
(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí),試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在平移過(guò)程中,若⊙O與AB相切于點(diǎn)D,連接CD , 求△ACD的面積;
(3)在平移過(guò)程中,若⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)G時(shí), E、FOC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=1.6,當(dāng)四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小時(shí),試求OE的長(zhǎng)度.

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(1)如圖1,若動(dòng)點(diǎn)Cx軸上運(yùn)動(dòng),則使ABC為等腰三角形的點(diǎn)C有幾個(gè)?

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A,B向過(guò)原點(diǎn)的直線l作垂線垂足分別為M、N,試判斷線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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(1)試在圖中連接BE,求證:四邊形BFB′E是菱形;
(2)若AB=8,BC=16,求線段BF長(zhǎng)能取到的整數(shù).

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A.y=x
B.y=x+1
C.y=x+2
D.y=x+3

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(2)設(shè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,求△AOB的面積;

(3)直接寫出使函數(shù)的值小于函數(shù)的值的自變量x的取值范圍.

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A.A→O→B
B.B→A→C
C.B→O→C
D.C→B→O

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