【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC是對角線,∠ABC=∠CDA90°BCCD,延長BCAD的延長線于點E

1)求證:ABAD;

2)若AEBE+DE,求∠BAC的值;

3)過點EMEAB,交AC的延長線于點M,過點MMPDC,交DC的延長線于點P,連接PB.設PBa,點O是直線AE上的動點,當MO+PO的值最小時,點O與點E是否可能重合?若可能,請說明理由并求此時MO+PO的值(用含a的式子表示);若不可能,請說明理由.

【答案】1)見解析;(222.5°;(3)當MO+PO的值最小時,點O與點E可以重合,見解析,4a

【解析】

1)證明RtABCRtADC即可;

2)通過等量代換得出△ABE是等腰直角三角形,再由邊角關系得出∠BAC的度數(shù)即可;

(3)根據(jù)題意畫出圖形,由現(xiàn)有條件得出MC平分∠PME,再根據(jù)角平分線的性質得出PCEC,根據(jù)軸對稱知識得出點M、點E、點P關于直線AE的對稱點Q,這三點共線,也即MO+PO的值最小時,點O與點E重合,最后通過邊角運算得出最小值即可.

1)證明:∵∠ABC=∠CDA90°,

BCCDACAC,

RtABCRtADCHL).

ABAD

2)解:∵AEBE+DE,

又∵AEAD+DE,

ADBE

ABAD,

ABBE

∴∠BAD=∠BEA

∵∠ABC90°

∴∠BAD═45°

∵由(1)得ABC≌△ADC,

∴∠BAC=∠DAC

∴∠BAC═22.5°

3)解:當MO+PO的值最小時,點O與點E可以重合,理由如下:

MEAB,

∴∠ABC=∠MEC90°,∠MAB=∠EMA

MPDC

∴∠MPC90°

∴∠MPC=∠ADC90°

PMAD

∴∠EAM=∠PMA

由(1)得,RtABCRtADC,

∴∠EAC=∠MAB

∴∠EMA=∠AMP.即MC平分∠PME

又∵MPCP,MECE,

PCEC

如圖,連接PB,連接PE,延長MEPD的延長線于點Q

設∠EAMα,則∠MAPα

RtABE中,∠BEA90°

RtCDE中,∠ECD90°﹣∠BEA

PCEC,

∴∠PEB=∠EPC=∠ECDα

∴∠PED=∠BEA+PEB90°α

MEAB,

∴∠QED=∠BAD

當∠PED=∠QED時,

∵∠PDE=∠QDE,DEDE,

∴△PDE≌△QDEASA).

PDDQ

即點P與點Q關于直線AE成軸對稱,也即點M、點E、點P關于直線AE的對稱點Q,這三點共線,也即MO+PO的值最小時,點O與點E重合.

因為當∠PED=∠QED時,90°α,也即α30°

所以,當∠ABD60°時,MO+PO取最小值時的點O與點E重合.

此時MO+PO的最小值即為ME+PE

PCEC,∠PCB=∠ECD,CBCD,

∴△PCB≌△ECDSAS).

∴∠CBP=∠CDE90°

∴∠CBP+ABC180°

A,BP三點共線.

當∠ABD60°時,在PEA中,

PAE=∠PEA60°

∴∠EPA60°

∴△PEA為等邊三角形.

EBAP,

AP2AB2a

EPAE2a

∵∠EMA=∠EAM30°,

EMAE2a

MO+PO的最小值為4a

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