【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點和點,與軸交于點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點是直線下方的拋物線上一動點(不點,重合),過點作軸的平行線交直線于點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為.
①用含的代數(shù)式表示線段的長;
②連接,,求的面積最大時點的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與交于點,點是拋物線的對稱軸上一點,為軸上一點,是否存在這樣的點和點,使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形?如果存在,請直接寫出點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m;②△PBC的面積最大時點P的坐標(biāo)為(,﹣);(3)存在這樣的點M和點N,使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形.點M的坐標(biāo)為M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2).
【解析】
(1)根據(jù)已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點A(1,0)和點B(3,0)代入即可求解;
(2)①先確定直線BC解析式,根據(jù)過點P作y軸的平行線交直線BC于點D,即可用含m的帶上書表示出P和D的坐標(biāo)進而求解;
②用含m的代數(shù)式表示出△PBC的面積,可得S是關(guān)于m的二次函數(shù),即可求解;
(3)根據(jù)(1)中所得二次函數(shù)圖象和對稱軸先得點E的坐標(biāo)即可寫出點三個位置的點M的坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點A(1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;
(2)①設(shè)P(m,m2﹣4m+3),
將點B(3,0)、C(0,3)代入得直線BC解析式為yBC=﹣x+3.
∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D,
∴D(m,﹣m+3),
∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m.
答:用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m.
②S△PBC=S△CPD+S△BPD
=OBPD=﹣m2+m
=﹣(m﹣)2+.
∴當(dāng)m=時,S有最大值.
當(dāng)m=時,m2﹣4m+3=﹣.
∴P(,﹣).
答:△PBC的面積最大時點P的坐標(biāo)為(,﹣).
(3)存在這樣的點M和點N,使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形.
根據(jù)題意,點E(2,1),
∴EF=CF=2,
∴EC=2,
根據(jù)菱形的四條邊相等,
∴ME=EC=2,∴M(2,1-2)或(2,1+2)
當(dāng)EM=EF=2時,M(2,3)
∴點M的坐標(biāo)為M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連結(jié)AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求證:AD是⊙O的切線.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半徑.
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【題目】如圖拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1,與x軸的一個交點為(﹣5,0),則不等式ax2+bx+c>0的解集為_____.
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【題目】將矩形紙片沿對角線翻折,使點的對應(yīng)點(落在矩形所在平面內(nèi),與相交于點,接.
(1)在圖1中,
①和的位置關(guān)系為__________________;
②將剪下后展開,得到的圖形是_________________;
(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(),如圖2所示,結(jié)論①、②是否成立,若成立,請對結(jié)論②加以證明,若不成立,請說明理由
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【題目】植樹節(jié)期間,某單位欲購進A、B兩種樹苗,若購進A種樹苗3棵,B種樹苗5棵,需2100元,若購進A種樹苗4棵,B種樹苗10棵,需3800元.
(1)求購進A、B兩種樹苗的單價;
(2)若該單位準(zhǔn)備用不多于8000元的錢購進這兩種樹苗共30棵,求A種樹苗至少需購進多少棵?
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【題目】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中卷第九“勾股”章,主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系.其中記載:“今有邑,東西七里,南北九里,各中開門,出東門一十五里有木,問:出南門幾何步而見木?”譯文:“如圖,今有一座長方形小城,東西向城墻長7里,南北向城墻長9里,各城墻正中均開一城門.走出東門15里處有棵大樹,問走出南門多少步恰好能望見這棵樹?”(注:1里=300步)你的計算結(jié)果是:出南門________步而見木.
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【題目】某市為了解九年級學(xué)生數(shù)學(xué)模擬考試成績情況,隨機抽取部分學(xué)生的成績進行分析,制成頻數(shù)分布表如下(成績得分均為整數(shù)):
組別 | 成績分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | 47.5~59.5 | 2 | 0.05 |
2 | 59.5~71.5 | 4 | 0.10 |
3 | 71.5~83.5 | a | 0.2 |
4 | 83.5~95.5 | 10 | 0.25 |
5 | 95.5~107.5 | b | c |
6 | 107.5~120 | 6 | 0.15 |
合計 | d | 1.00 |
根據(jù)表中提供的信息解答下列問題:
(1)頻數(shù)分布表中的a= ,b= ,c= ,d= ;
(2)補充完整頻數(shù)分布直方圖.
(3)已知全市九年級共有3500名學(xué)生參加考試,成績96分及以上為優(yōu)秀,估計全市九年級學(xué)生數(shù)學(xué)模擬考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少?
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【題目】閱讀下面材料:
已知實數(shù)m,n滿足(2m3+n3+1)(2m3+n3-1)=80,試求2m3+n3的值
解:設(shè)2m3+n3=t,則原方程變?yōu)?/span>(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81, t=±9,所以2m3+n3=±9
上面這種方法稱為“換元法”,把其中某些部分看成一個整體,并用新字母代替(即換元),則能使復(fù)雜的問題簡單化.
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容,解決下列問題,并寫出解答過程.
已知實數(shù)x,y滿足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2-3)=27,求x2+y2的值.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2(a≠0).
(1)該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線 ;
(2)若該二次函數(shù)的圖象開口向上,當(dāng)﹣1≤x≤5時,函數(shù)圖象的最高點為M,最低點為N,點M的縱坐標(biāo)為,求點M和點N的坐標(biāo);
(3)若該二次函數(shù)的圖象開口向下,對于該二次函數(shù)圖象上的兩點A(x1,y1)、B(x2,y2),當(dāng)x2≥3時,均有y1≥y2,請結(jié)合圖象,直接寫出x1的取值范圍.
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