【題目】(問(wèn)題背景)

1)如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”,請(qǐng)說(shuō)理證明∠A+B=∠C+D

(簡(jiǎn)單應(yīng)用)

2)如圖2,AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC28°,∠ADC20°,求∠P的度數(shù)(可直接使用問(wèn)題(1)中的結(jié)論)

(問(wèn)題探究)

3)如圖3,直線(xiàn)BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,若∠A30°,∠C18°,則∠P的度數(shù)為   

(拓展延伸)

4)在圖4中,若設(shè)∠Cx,∠By,∠CAPCAB,∠CDPCDB,試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為   (用x、y表示∠P

5)在圖5中,BP平分∠ABC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,猜想∠P與∠A、∠C的關(guān)系,直接寫(xiě)出結(jié)論   

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(224°;(324°;(4)∠P=x+y;(5)∠P=

【解析】

1)根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,對(duì)頂角相等,即可證得∠A+B=C+D

2)由(1)的結(jié)論得:∠BCP+P=BAP+ABC①,∠PAD+P=PCD+ADC②,將兩個(gè)式子相加,已知AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD,可得∠BAP=PAD,∠BCP=PCD,可證得∠P=(ABC+ADC),即可求出∠P度數(shù).

3)已知直線(xiàn)BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,可得∠1=2,∠3=4,由(1)的結(jié)論得:∠C+180°-3=P+180°-1,∠A+4=P+2,兩式相加即可求出∠P的度數(shù).

4)由(1)的結(jié)論得:CAB+C=P+CDB,CAB+P=B+CDB,第一個(gè)式子乘以3,得到的式子減去第二個(gè)式子即可得出用x、y表示∠P

5)延長(zhǎng)ABDP于點(diǎn)F,標(biāo)注出∠1,∠2,∠3,∠4,由(1)的結(jié)論得:∠A+21=C+180°-23,其中根據(jù)對(duì)頂角相等,三角形內(nèi)角和,以及外角的性質(zhì)即可得到∠1=PBF=180°-BFP-P=180°-(A+3)-P,代入∠A+21=C+180°-23,即可得出∠P與∠A、∠C的關(guān)系.

1)如圖1

A+B+AOB=C+D+COD=180°

∵∠AOB=COD

∴∠A+B=C+D

2)∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD

∴∠BAP=PAD,∠BCP=PCD

由(1)的結(jié)論得:∠BCP+P=BAP+ABC①,∠PAD+P=PCD+ADC

+②,得2P+PAD+BCP=BAP+ABC +PCD+ADC

∴∠P=(ABC+ADC)

∴∠ABC28°,∠ADC20°

∴∠P=(28°+20°)

∴∠P=24°

故答案為:24°

3)∵如圖3,直線(xiàn)BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,

∴∠1=2,∠3=4

由(1)的結(jié)論得:∠C+180°-3=P+180°-1①,∠A+4=P+2

+②,得∠C+180°-3+A+4=P+180°-1+P+2

30°+18°=2P

∴∠P=24°

故答案為:24°

4)由(1)的結(jié)論得:CAB+C=P+CDB①,CAB+P=B+CDB

①×3,得CAB+3C=3P+CDB

-③,得∠P-3x=y-3P

∴∠P=x+y

故答案為:∠P=x+y

5)如圖5所示,延長(zhǎng)ABDP于點(diǎn)F

由(1)的結(jié)論得:∠A+21=C+180°-23

∵∠1=PBF=180°-BFP-P=180°-(A+3)-P

∴∠A+360°-2A-23-2P=C+180°-23

解得:∠P=

故答案為:∠P=

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①當(dāng)x=1時(shí),點(diǎn)P是菱形ABCD的中心;
②當(dāng)x= 時(shí),EF+GH>AC;
③當(dāng)0<x<2時(shí),六邊形AEFCHG面積的最大值是 ;
④當(dāng)0<x<2時(shí),六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變.
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1

(2)

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