Question

【題目】如圖1，菱形紙片ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使點B，D兩點重合于對角線BD上一點P，EF，GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時，點P是菱形ABCD的中心；
②當(dāng)x= 時，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是 ；
④當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．
其中正確結(jié)論是 ． （填序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：∵菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，BD=2 ，

由折疊知，△BEF是等邊三角形，

當(dāng)x=1時，則AE=1，

∴BE=AB﹣AE=1，

由折疊知，BP=2× = = BD，

∴點P是菱形ABCD的對角線的交點，

即：點P是菱形ABCD的中心，所以①正確，

如圖，

∵AE=x，

∴BE=AB﹣AE=2﹣x，

∵△BEF是等邊三角形，

∴EF=BE=2﹣x，

∴BM= EM= × EF= （2﹣x），

∴BP=2BM= （2﹣x），

∴DP=BD﹣BP=2 ﹣ （2﹣x）= x，

∴DN= DP= x，

∴GH=2GN=2× x=x，

當(dāng)x= 時，AE= ，

∴BE=AB﹣AE= ，

∵△BEF是等邊三角形，

∴EF=BE= ，BP= ，

∴DP= ，

∴GH=DG= ，

∴EF+GH=2=AC，所以②錯誤；

當(dāng)0＜x＜2時，

∵AE=x，

∴BE=2﹣x，

∴EF=2﹣x，

∴BP= （2﹣x），

∴DP= x，

∴GH=2× =x=DG=DH，

∴六邊形AEFCHG面積=S菱形ABCD﹣S△BEEF﹣S△DGH

= ×2×2 ﹣ （2﹣x）2﹣ x2

=2 ﹣ （x﹣1）2﹣

=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴當(dāng)x=1時，六邊形AEFCHG面積最大為 ，所以③錯誤，

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG

=x+2﹣x+x+2﹣x+x+2﹣x=6是定值，

所以④正確，即：正確的有①④，

所以答案是①④．

【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和菱形的性質(zhì)，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．